ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.14

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$, при этом на комплексной плоскости числу $z$ соответствует точка с координатами $(x; y)$, $\text{Re } z = x$, $\text{Im } z = y$. ### 1) $1 < |z - 1 - i| < 3$ Преобразуем выражение под знаком модуля: $$ |z - (1 + i)| $$ Геометрически модуль $|z - z_0|$ представляет собой расстояние от точки $z$ до точки $z_0$. В данном случае $z_0 = 1 + i$, то есть точка с координатами $(1; 1)$. Двойное неравенство $1 < |z - (1 + i)| < 3$ означает, что расстояние от точки $z(x; y)$ до центра $(1; 1)$ строго больше $1$ и строго меньше $3$: $$ 1 < \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} < 3 \iff 1 < (x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 9 $$ **Геометрическое описание:** Множество точек представляет собой открытое кольцо с центром в точке $(1; 1)$, внутренним радиусом $r = 1$ и внешним радиусом $R = 3$. Сами граничные окружности $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ и $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$ не принадлежат множеству и изображаются пунктирными линиями. --- ### 2) $|z - 2i| = |z - 4|$ Геометрически равенство означает, что расстояние от точки $z$ до точки $A(0; 2)$ (соответствующей числу $2i$) равно расстоянию от точки $z$ до точки $B(4; 0)$ (соответствующей числу $4$). Это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Перейдем к координатам: $$ |x + i(y - 2)| = |(x - 4) + iy| $$ $$ \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 + (y - 2)^2 = (x - 4)^2 + y^2 $$ $$ x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 8x + 16 + y^2 $$ $$ -4y + 4 = -8x + 16 $$ $$ 8x - 4y - 12 = 0 $$ $$ 2x - y - 3 = 0 \iff y = 2x - 3 $$ **Геометрическое описание:** Искомое множество точек — прямая линия, задаваемая уравнением $y = 2x - 3$ (серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$). --- ### 3) $|z - 2i| > |z - 4|$ Геометрически неравенство означает, что расстояние от точки $z$ до точки $A(0; 2)$ строго больше, чем расстояние от нее до точки $B(4; 0)$. Запишем неравенство в координатной форме: $$ \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} > \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} $$ Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $$ x^2 + (y - 2)^2 > (x - 4)^2 + y^2 $$ $$ x^2 + y^2 - 4y + 4 > x^2 - 8x + 16 + y^2 $$ $$ -4y + 4 > -8x + 16 $$ $$ 8x - 4y - 12 > 0 $$ $$ 2x - y - 3 > 0 \iff y < 2x - 3 $$ **Геометрическое описание:** Множество точек представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 2x - 3$. Сама граничная прямая в область не входит и изображается пунктирной линией. --- ### 4) $|z| = \text{Re } z$ Подставим $z = x + iy$: $$ \sqrt{x^2 + y^2} = x $$ Левая часть равенства неотрицательна, следовательно, $x \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $x \ge 0$: $$ x^2 + y^2 = x^2 $$ $$ y^2 = 0 \iff y = 0 $$ С учетом условия $x \ge 0$, получаем систему: $$ \begin{cases} y = 0, \\ x \ge 0. \end{cases} $$ **Геометрическое описание:** Искомое множество точек — положительный луч действительной оси $Ox$, включая начало координат $(0; 0)$ (то есть луч $[0; +\infty)$ на вещественной оси). --- ### 5) $|z| \leq \text{Im } z$ Подставим $z = x + iy$: $$ \sqrt{x^2 + y^2} \le y $$ Поскольку корень всегда неотрицателен, должно выполняться $y \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $$ x^2 + y^2 \le y^2 $$ $$ x^2 \le 0 $$ Так как $x \in \mathbb{R}$, квадрат действительного числа не может быть строго меньше нуля, следовательно: $$ x^2 = 0 \iff x = 0 $$ При этом условие $y \ge 0$ сохраняется. Получаем: $$ \begin{cases} x = 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $$ **Геометрическое описание:** Искомое множество точек — положительный луч мнимой оси $Oy$, включая начало координат $(0; 0)$ (то есть луч $[0; +\infty)$ на мнимой оси). --- ### 6) $|z - 1| = \text{Re } z$ Подставим $z = x + iy$: $$ |(x - 1) + iy| = x $$ $$ \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = x $$ Так как значение корня неотрицательно, должно выполняться $x \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (x - 1)^2 + y^2 = x^2 $$ $$ x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 $$ $$ y^2 - 2x + 1 = 0 $$ $$ 2x = y^2 + 1 \iff x = \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2} $$ Заметим, что для любого $y \in \mathbb{R}$ выполняется $\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} > 0$, поэтому условие $x \ge 0$ выполняется автоматически. **Геометрическое описание:** Искомое множество точек — парабола с вершиной в точке $(0{,}5; 0)$, осью симметрии которой является действительная ось $Ox$, а ветви направлены вправо (в сторону положительных значений $x$).