ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 28 - 28.2

Для нахождения произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: $$ z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1) \quad \text{и} \quad z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2), $$ используется формула: $$ z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 + \varphi_2)). $$ 1) Даны числа: $z_1 = 6\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$, $z_2 = 2\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right)$. Перемножим их модули и сложим аргументы: $$ r_1 r_2 = 6 \cdot 2 = 12, $$ $$ \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi. $$ Запишем произведение в тригонометрической форме и вычислим его значение: $$ z_1 z_2 = 12(\cos \pi + i\sin \pi). $$ Так как $\cos \pi = -1$, а $\sin \pi = 0$, получаем: $$ z_1 z_2 = 12(-1 + i \cdot 0) = -12. $$ 2) Даны числа: $z_1 = 7\left(\cos \frac{1}{3} + i\sin \frac{1}{3}\right)$, $z_2 = 3\left(\cos\left(-\frac{1}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$. Перемножим их модули и сложим аргументы: $$ r_1 r_2 = 7 \cdot 3 = 21, $$ $$ \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}. $$ Запишем результат в тригонометрической форме: $$ z_1 z_2 = 21\left(\cos \frac{1}{12} + i\sin \frac{1}{12}\right). $$ **Ответ:** 1) $-12$ (или $12(\cos \pi + i\sin \pi)$); 2) $21\left(\cos \frac{1}{12} + i\sin \frac{1}{12}\right)$.