ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 28 - 28.1

Для нахождения произведения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, используется формула: $$ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)) $$ где $r_1, r_2$ — модули комплексных чисел ($r_1 > 0, r_2 > 0$), а $\varphi_1, \varphi_2$ — их аргументы. --- ### 1) Даны числа: $z_1 = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)$ и $z_2 = 3\left(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}\right)$. Оба числа представлены в стандартной тригонометрической форме: * $r_1 = 2$, $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$; * $r_2 = 3$, $\varphi_2 = \frac{\pi}{12}$. Перемножим модули и сложим аргументы: $$ r = r_1 \cdot r_2 = 2 \cdot 3 = 6 $$ $$ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} $$ Получаем: $$ z_1 z_2 = 6\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) $$ При необходимости можно записать результат в алгебраической форме: $$ z_1 z_2 = 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i $$ **Ответ:** $6\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$ (или $3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$). --- ### 2) Даны числа: $z_1 = 5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{16}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{16}\right)\right)$ и $z_2 = \cos 1 + i \sin 1$. Числа записаны в тригонометрической форме: * $r_1 = 5$, $\varphi_1 = -\frac{\pi}{16}$; * $r_2 = 1$, $\varphi_2 = 1$. Находим произведение: $$ r = 5 \cdot 1 = 5 $$ $$ \varphi = -\frac{\pi}{16} + 1 = 1 - \frac{\pi}{16} $$ Тогда: $$ z_1 z_2 = 5\left(\cos\left(1 - \frac{\pi}{16}\right) + i \sin\left(1 - \frac{\pi}{16}\right)\right) $$ **Ответ:** $5\left(\cos\left(1 - \frac{\pi}{16}\right) + i \sin\left(1 - \frac{\pi}{16}\right)\right)$. --- ### 3) Даны числа: $z_1 = 4\left(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8}\right)$ и $z_2 = -2\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$. Приведем каждое число к стандартному тригонометрическому виду $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r > 0$: 1. Для $z_1$, используя четность косинуса и нечетность синуса ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$): $$ z_1 = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) $$ 2. Для $z_2$, внесем знак «минус» внутрь скобок и используем формулы приведения ($-\cos \alpha = \cos(\alpha + \pi)$, $-\sin \alpha = \sin(\alpha + \pi)$): $$ z_2 = 2\left(-\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right)\right) = 2\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right) $$ Теперь перемножим числа: $$ r = r_1 \cdot r_2 = 4 \cdot 2 = 8 $$ $$ \varphi = -\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{10\pi}{8} = \frac{9\pi}{8} $$ Записываем произведение: $$ z_1 z_2 = 8\left(\cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8}\right) $$ *(Если записывать главное значение аргумента из промежутка $(-\pi; \pi]$, то $\frac{9\pi}{8} - 2\pi = -\frac{7\pi}{8}$, то есть $8\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{8}\right) + i \sin\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\right)$).* **Ответ:** $8\left(\cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8}\right)$ или $8\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{8}\right) + i \sin\left(-\frac{7\pi}{8}\right)\right)$.