ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.9

1) Для комплексного числа $z = 7$: Действительная часть $a = 7$, мнимая часть $b = 0$. Точка $(7; 0)$ на комплексной плоскости лежит на положительной полуоси действительной оси, поэтому одно из значений аргумента равно $\varphi = 0$. Все значения аргумента комплексного числа отличаются на $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$: $$ \operatorname{Arg} 7 = 0 + 2\pi k = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Для комплексного числа $z = 4i$: Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 4$. Точка $(0; 4)$ на комплексной плоскости лежит на положительной полуоси мнимой оси, следовательно, одно из значений аргумента равно $\varphi = \frac{\pi}{2}$. Тогда все аргументы имеют вид: $$ \operatorname{Arg} 4i = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3) Для комплексного числа $z = -2 - 2i$: Действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = -2$. Найдем модуль числа: $$ |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ Для нахождения аргумента $\varphi$ решим систему: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{a}{|z|} = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \varphi = \dfrac{b}{|z|} = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$ Точка $(-2; -2)$ лежит в III координатной четверти, поэтому одно из значений аргумента равно $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$). Тогда все аргументы имеют вид: $$ \operatorname{Arg}(-2 - 2i) = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \left(\text{или } \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\right) $$ 4) Для комплексного числа $z = \sqrt{3} + i$: Действительная часть $a = \sqrt{3}$, мнимая часть $b = 1$. Найдем модуль числа: $$ |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ Для нахождения аргумента $\varphi$ составим систему: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{a}{|z|} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \varphi = \dfrac{b}{|z|} = \dfrac{1}{2} \end{cases} $$ Точка $(\sqrt{3}; 1)$ лежит в I координатной четверти, откуда $\varphi = \frac{\pi}{6}$. Тогда все аргументы имеют вид: $$ \operatorname{Arg}(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** 1) $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; 2) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; 3) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$); 4) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.