ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.10

1) Число $z = -3$ можно записать в виде $z = -3 + 0i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка $(-3; 0)$, которая лежит на отрицательной полуоси действительной оси. Следовательно, одно из значений аргумента (главное значение) равно: $$ \varphi = \pi $$ Множество всех аргументов комплексного числа находится прибавлением слагаемого $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$: $$ \operatorname{Arg}(-3) = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Число $z = -5i$ можно записать в виде $z = 0 - 5i$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка $(0; -5)$, которая лежит на отрицательной полуоси мнимой оси. Следовательно, одно из значений аргумента равно: $$ \varphi = -\frac{\pi}{2} \quad \left(\text{или } \frac{3\pi}{2}\right) $$ Все аргументы задаются формулой: $$ \operatorname{Arg}(-5i) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3) Дано число $z = -3 + 3i$. Действительная часть $a = -3$, мнимая часть $b = 3$. Найдем модуль числа $z$: $$ |z| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ Аргумент $\varphi$ удовлетворяет системе: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{a}{|z|} = \dfrac{-3}{3\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \varphi = \dfrac{b}{|z|} = \dfrac{3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$ Так как $\cos \varphi < 0$, а $\sin \varphi > 0$, точка лежит во II координатной четверти: $$ \varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $$ Все аргументы данного числа: $$ \operatorname{Arg}(-3 + 3i) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4) Дано число $z = -1 + i\sqrt{3}$. Действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = \sqrt{3}$. Найдем модуль числа $z$: $$ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$ Аргумент $\varphi$ удовлетворяет системе: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{a}{|z|} = -\dfrac{1}{2} \\ \sin \varphi = \dfrac{b}{|z|} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ Так как $\cos \varphi < 0$, а $\sin \varphi > 0$, точка лежит во II координатной четверти: $$ \varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ Все аргументы данного числа: $$ \operatorname{Arg}(-1 + i\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: 1) $\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2) $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (или $\dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$); 3) $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 4) $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.