ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.33

По определению тригонометрических функций на единичной окружности точка, полученная в результате поворота точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\phi$, имеет координаты: $$ P(\cos \phi; \sin \phi) $$ Следовательно, для нахождения значений угла $\phi$ необходимо решить систему уравнений: $$ \begin{cases} \cos \phi = x \\ \sin \phi = y \end{cases} $$ Все возможные значения угла $\phi$ записываются с периодом $2\pi k$ (или $360^\circ k$), где $k \in \mathbb{Z}$. --- 1) Координаты точки: $\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Составим систему: $$ \begin{cases} \cos \phi = -\dfrac{1}{2} \\ \sin \phi = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ Точка лежит во II координатной четверти: $$ \phi = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим несколько значений $k$: * при $k = 0$: $\phi = \dfrac{2\pi}{3}$ (или $120^\circ$); * при $k = 1$: $\phi = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{8\pi}{3}$ (или $480^\circ$); * при $k = -1$: $\phi = \dfrac{2\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{4\pi}{3}$ (или $-240^\circ$). **Ответ:** например, $\dfrac{2\pi}{3}$; $\dfrac{8\pi}{3}$; $-\dfrac{4\pi}{3}$ (или в общем виде: $\phi = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). --- 2) Координаты точки: $\left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Составим систему: $$ \begin{cases} \cos \phi = \dfrac{1}{2} \\ \sin \phi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ Точка лежит в IV координатной четверти: $$ \phi = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \left(\text{или } \phi = \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим несколько значений $k$: * при $k = 0$: $\phi = -\dfrac{\pi}{3}$ (или $-60^\circ$); * при $k = 1$: $\phi = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ (или $300^\circ$); * при $k = -1$: $\phi = -\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{3}$ (или $-420^\circ$). **Ответ:** например, $-\dfrac{\pi}{3}$; $\dfrac{5\pi}{3}$; $-\dfrac{7\pi}{3}$ (или в общем виде: $\phi = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). --- 3) Координаты точки: $\left(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Составим систему: $$ \begin{cases} \cos \phi = -\dfrac{1}{2} \\ \sin \phi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $$ Точка лежит в III координатной четверти: $$ \phi = -\pi + \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \left(\text{или } \phi = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим несколько значений $k$: * при $k = 0$: $\phi = -\dfrac{2\pi}{3}$ (или $-120^\circ$); * при $k = 1$: $\phi = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{4\pi}{3}$ (или $240^\circ$); * при $k = -1$: $\phi = -\dfrac{2\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{8\pi}{3}$ (или $-480^\circ$). **Ответ:** например, $-\dfrac{2\pi}{3}$; $\dfrac{4\pi}{3}$; $-\dfrac{8\pi}{3}$ (или в общем виде: $\phi = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). --- 4) Координаты точки: $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Составим систему: $$ \begin{cases} \cos \phi = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \phi = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$ Точка лежит во II координатной четверти: $$ \phi = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим несколько значений $k$: * при $k = 0$: $\phi = \dfrac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$); * при $k = 1$: $\phi = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{4}$ (или $495^\circ$); * при $k = -1$: $\phi = \dfrac{3\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$ (или $-225^\circ$). **Ответ:** например, $\dfrac{3\pi}{4}$; $\dfrac{11\pi}{4}$; $-\dfrac{5\pi}{4}$ (или в общем виде: $\phi = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). --- 5) Координаты точки: $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Составим систему: $$ \begin{cases} \cos \phi = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \phi = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$ Точка лежит в I координатной четверти: $$ \phi = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим несколько значений $k$: * при $k = 0$: $\phi = \dfrac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$); * при $k = 1$: $\phi = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}$ (или $405^\circ$); * при $k = -1$: $\phi = \dfrac{\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}$ (или $-315^\circ$). **Ответ:** например, $\dfrac{\pi}{4}$; $\dfrac{9\pi}{4}$; $-\dfrac{7\pi}{4}$ (или в общем виде: $\phi = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).