ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.32

Пусть искомое комплексное число имеет вид $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда его квадрат равен: $$ z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi $$ Число, сопряжённое к квадрату $z^2$, имеет вид: $$ \overline{z^2} = x^2 - y^2 - 2xyi $$ По условию задачи число $z$ является сопряжённым своему квадрату, то есть $z = \overline{z^2}$: $$ x + yi = x^2 - y^2 - 2xyi $$ Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = x \\ -2xy = y \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы: $$ 2xy + y = 0 $$ $$ y(2x + 1) = 0 $$ Отсюда следует, что либо $y = 0$, либо $2x + 1 = 0$ (то есть $x = -\frac{1}{2}$). Рассмотрим оба случая: 1. Если $y = 0$, то подставим это значение в первое уравнение системы: $$ x^2 - 0^2 = x $$ $$ x^2 - x = 0 $$ $$ x(x - 1) = 0 $$ Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Соответствующие комплексные числа: $$ z_1 = 0 $$ $$ z_2 = 1 $$ 2. Если $x = -\frac{1}{2}$, то подставим это значение в первое уравнение системы: $$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - y^2 = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{4} - y^2 = -\frac{1}{2} $$ $$ y^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$ $$ y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Соответствующие комплексные числа: $$ z_3 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ $$ z_4 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ: $0$; $1$; $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$; $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.