ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.30

Дано выражение: $$ 1 + i + i^2 + \dots + i^n = 1 $$ где $n \in \mathbb{N}$, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Вычтем $1$ из обеих частей равенства: $$ i + i^2 + i^3 + \dots + i^n = 0 $$ Данная сумма представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии, где первый член равен $b_1 = i$, а знаменатель прогрессии $q = i \ne 1$. Применим формулу суммы геометрической прогрессии: $$ \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (так как $1 - i \ne 0$): $$ i(1 - i^n) = 0 $$ Поскольку $i \ne 0$, получаем: $$ 1 - i^n = 0 $$ $$ i^n = 1 $$ Найдем значения степеней мнимой единицы: $$ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 $$ Значения степеней повторяются с периодом 4. Следовательно, равенство $i^n = 1$ выполняется тогда и только тогда, когда показатель степени $n$ кратен 4: $$ n = 4k, \quad k \in \mathbb{N} $$ Ответ: $n = 4k$, где $k \in \mathbb{N}$ (все натуральные числа, кратные 4).