ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.1

Каждому комплексному числу $z = a + bi$ на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(a; b)$, где: — абсцисса $a = \text{Re } z$ (действительная часть числа) откладывается по горизонтальной действительной оси; — ордината $b = \text{Im } z$ (мнимая часть числа) откладывается по вертикальной мнимой оси. Определим координаты точек для каждого из заданных чисел: 1) $z = 3$ Запишем число в алгебраической форме: $z = 3 + 0i$. Действительная часть равна $3$, мнимая часть равна $0$. Точка лежит на действительной оси и имеет координаты $(3; 0)$. 2) $z = -5i$ Запишем число в алгебраической форме: $z = 0 - 5i$. Действительная часть равна $0$, мнимая часть равна $-5$. Точка лежит на мнимой оси и имеет координаты $(0; -5)$. 3) $z = 1 + 2i$ Действительная часть равна $1$, мнимая часть равна $2$. Точка имеет координаты $(1; 2)$ (I координатная четверть). 4) $z = -3 + i$ Действительная часть равна $-3$, мнимая часть равна $1$. Точка имеет координаты $(-3; 1)$ (II координатная четверть). 5) $z = 2 - 3i$ Действительная часть равна $2$, мнимая часть равна $-3$. Точка имеет координаты $(2; -3)$ (IV координатная четверть). 6) $z = -4 - i$ Действительная часть равна $-4$, мнимая часть равна $-1$. Точка имеет координаты $(-4; -1)$ (III координатная четверть). 7) $z = \frac{1}{1 - i}$ Преобразуем число к стандартной алгебраической форме $a + bi$, умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $(1 + i)$: $$ z = \frac{1 \cdot (1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i}{1^2 - i^2} = \frac{1 + i}{1 - (-1)} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i = 0{,}5 + 0{,}5i $$ Действительная часть равна $0{,}5$, мнимая часть равна $0{,}5$. Точка имеет координаты $(0{,}5; 0{,}5)$ или $\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$ (I координатная четверть). 8) $z = (1 + i)^4$ Выполним возведение в степень последовательно: $$ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $$ $$ (1 + i)^4 = \left((1 + i)^2\right)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $$ Запишем результат в алгебраической форме: $z = -4 + 0i$. Действительная часть равна $-4$, мнимая часть равна $0$. Точка лежит на действительной оси и имеет координаты $(-4; 0)$.