ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.29

1) Выполним умножение в числителе, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ (2 + 5i)(1 + i) = 2 + 2i + 5i + 5i^2 = 2 + 7i - 5 = -3 + 7i $$ Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на число $(-1 - i)$, сопряжённое знаменателю: $$ \frac{-3 + 7i}{-1 + i} = \frac{(-3 + 7i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{3 + 3i - 7i - 7i^2}{(-1)^2 - i^2} = \frac{3 - 4i + 7}{1 - (-1)} = \frac{10 - 4i}{2} = 5 - 2i $$ 2) Выполним умножение в знаменателе: $$ (-2 + 3i)(1 + 2i) = -2 - 4i + 3i + 6i^2 = -2 - i - 6 = -8 - i $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на число $(-8 + i)$, сопряжённое знаменателю: $$ \frac{4 + i}{-8 - i} = \frac{(4 + i)(-8 + i)}{(-8 - i)(-8 + i)} = \frac{-32 + 4i - 8i + i^2}{(-8)^2 - i^2} = \frac{-32 - 4i - 1}{64 - (-1)} = \frac{-33 - 4i}{65} = -\frac{33}{65} - \frac{4}{65}i $$ 3) Приведём слагаемые к общему знаменателю: $$ \frac{5 + i}{5 - i} + \frac{5 - i}{5 + i} = \frac{(5 + i)^2 + (5 - i)^2}{(5 - i)(5 + i)} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{(25 + 10i + i^2) + (25 - 10i + i^2)}{5^2 - i^2} = \frac{25 + 10i - 1 + 25 - 10i - 1}{25 - (-1)} = \frac{48}{26} = \frac{24}{13} = 1\frac{11}{13} $$ 4) Найдём значения степеней мнимой единицы: $$ i^{19} = (i^4)^4 \cdot i^3 = 1^4 \cdot (-i) = -i $$ $$ i^{17} = (i^4)^4 \cdot i = 1^4 \cdot i = i $$ Подставим полученные значения в выражение: $$ \left( \frac{1 - i^{19}}{1 + i^{17}} \right)^{15} = \left( \frac{1 - (-i)}{1 + i} \right)^{15} = \left( \frac{1 + i}{1 + i} \right)^{15} = 1^{15} = 1 $$ **Ответ:** 1) $5 - 2i$; 2) $-\frac{33}{65} - \frac{4}{65}i$; 3) $\frac{24}{13}$ (или $1\frac{11}{13}$); 4) $1$.