ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.26

**1)** $iz = 2 + i$ Разделим обе части уравнения на $i$: $$ z = \frac{2 + i}{i} $$ Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $-i$ (или умножим на $i$, учитывая, что $i^2 = -1$): $$ z = \frac{(2 + i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{2i + i^2}{i^2} $$ Так как $i^2 = -1$, получаем: $$ z = \frac{2i - 1}{-1} = 1 - 2i $$ Ответ: $z = 1 - 2i$. --- **2)** $(4 - i)z = 3 + i$ Выразим $z$: $$ z = \frac{3 + i}{4 - i} $$ Умножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $4 + i$: $$ z = \frac{(3 + i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)} $$ Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов: $$ (4 - i)(4 + i) = 4^2 - i^2 = 16 - (-1) = 17 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (3 + i)(4 + i) = 12 + 3i + 4i + i^2 = 12 + 7i - 1 = 11 + 7i $$ Таким образом: $$ z = \frac{11 + 7i}{17} = \frac{11}{17} + \frac{7}{17}i $$ Ответ: $z = \frac{11}{17} + \frac{7}{17}i$. --- **3)** $\frac{i}{z + i} = \frac{4 - i}{iz - 1}$ Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому найдем область допустимых значений: $$ \begin{cases} z + i \neq 0 \\ iz - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} z \neq -i \\ iz \neq 1 \implies z \neq \frac{1}{i} = -i \end{cases} $$ Таким образом, $z \neq -i$. Воспользуемся основным свойством пропорции: $$ i(iz - 1) = (4 - i)(z + i) $$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$ i^2 z - i = 4z + 4i - iz - i^2 $$ Учитывая, что $i^2 = -1$: $$ -z - i = 4z + 4i - iz + 1 $$ Сгруппируем слагаемые с переменной $z$ в левой части, а свободные слагаемые — в правой: $$ -z - 4z + iz = 1 + 4i + i $$ $$ (-5 + i)z = 1 + 5i $$ Выразим $z$: $$ z = \frac{1 + 5i}{-5 + i} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое знаменателю число $(-5 - i)$: $$ z = \frac{(1 + 5i)(-5 - i)}{(-5 + i)(-5 - i)} $$ Вычислим значение знаменателя: $$ (-5)^2 - i^2 = 25 - (-1) = 26 $$ Вычислим значение числителя: $$ (1 + 5i)(-5 - i) = -5 - i - 25i - 5i^2 = -5 - 26i - 5(-1) = -5 - 26i + 5 = -26i $$ Получаем: $$ z = \frac{-26i}{26} = -i $$ Однако значение $z = -i$ не удовлетворяет условию $z \neq -i$, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.