ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 25 - 25.16

Случайная величина $x$ принимает целые значения $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Найдем вероятности для каждого возможного значения $k$ по формуле $P(x = k) = a(6k - k^2)$: $P(x = 0) = a(6 \cdot 0 - 0^2) = 0$ $P(x = 1) = a(6 \cdot 1 - 1^2) = 5a$ $P(x = 2) = a(6 \cdot 2 - 2^2) = 8a$ $P(x = 3) = a(6 \cdot 3 - 3^2) = 9a$ $P(x = 4) = a(6 \cdot 4 - 4^2) = 8a$ $P(x = 5) = a(6 \cdot 5 - 5^2) = 5a$ $P(x = 6) = a(6 \cdot 6 - 6^2) = 0$ Так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна $1$, составим уравнение: $$ \sum_{k=0}^{6} P(x = k) = 1 $$ $$ 0 + 5a + 8a + 9a + 8a + 5a + 0 = 1 $$ $$ 35a = 1 \implies a = \frac{1}{35} $$ Математическое ожидание случайной величины вычисляется по формуле: $$ M(x) = \sum_{k=0}^{6} k \cdot P(x = k) $$ Подставим найденные вероятности: $$ M(x) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 5a + 2 \cdot 8a + 3 \cdot 9a + 4 \cdot 8a + 5 \cdot 5a + 6 \cdot 0 $$ $$ M(x) = 5a + 16a + 27a + 32a + 25a = 105a $$ Подставим значение $a = \frac{1}{35}$: $$ M(x) = 105 \cdot \frac{1}{35} = 3 $$ Ответ: 3.