ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 25 - 25.12

Пусть случайная величина $X$ — число подбрасываний монеты до первого выпадения герба, но не более пяти раз. При каждом подбрасывании монеты вероятность выпадения герба (Г) равна вероятности выпадения решки (Р): $$ P(\text{Г}) = P(\text{Р}) = \frac{1}{2} $$ Случайная величина $X$ может принимать значения $1, 2, 3, 4, 5$. Найдем вероятности каждого из этих значений: 1. $X = 1$ — герб выпал при первом же броске (исход Г): $$ P(X = 1) = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ 2. $X = 2$ — при первом броске выпала решка, при втором — герб (исход РГ): $$ P(X = 2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ 3. $X = 3$ — первые два раза выпала решка, на третий раз — герб (исход РРГ): $$ P(X = 3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125 $$ 4. $X = 4$ — первые три раза выпала решка, на четвёртый раз — герб (исход РРРГ): $$ P(X = 4) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0{,}0625 $$ 5. $X = 5$ — монету бросили пять раз. Это происходит, если в первых четырёх бросках герб ни разу не выпал (то есть выпали четыре решки подряд: исходы РРРРГ или РРРРР, после чего испытание в любом случае прекращается по условию): $$ P(X = 5) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0{,}0625 $$ Проверим, что сумма всех вероятностей равна $1$: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 4 + 2 + 1 + 1}{16} = \frac{16}{16} = 1 $$ Составим таблицу распределения вероятностей случайной величины $X$: | $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | В виде десятичных дробей: | $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ | $0{,}125$ | $0{,}0625$ | $0{,}0625$ |