ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.1

Вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ наступит ровно $m$ успешных исходов, вычисляется по формуле Бернулли: $$ P_n(m) = C_n^m p^m q^{n-m} $$ где $q = 1 - p$ — вероятность неудачи в одном испытании, а $C_n^m = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$ — число сочетаний из $n$ по $m$. 1) Дано: $n = 10$, $p = \dfrac{1}{4}$, $m = 2$. Найдём вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ Вычислим число сочетаний $C_{10}^2$: $$ C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot (10 - 2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 $$ По формуле Бернулли: $$ P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot p^2 \cdot q^8 = 45 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8 = 45 \cdot \frac{3^8}{4^{10}} = \frac{45 \cdot 6561}{1048576} = \frac{295245}{1048576} \approx 0{,}282 $$ 2) Дано: $n = 8$, $p = 0{,}8$, $m = 8$. Найдём вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 $$ Вычислим число сочетаний $C_8^8$: $$ C_8^8 = 1 $$ По формуле Бернулли: $$ P_8(8) = C_8^8 \cdot p^8 \cdot q^0 = 1 \cdot (0{,}8)^8 \cdot (0{,}2)^0 = 0{,}8^8 = 0{,}16777216 $$ 3) Дано: $n = 5$, $p = 40\% = 0{,}4$, $m = 3$. Найдём вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 $$ Вычислим число сочетаний $C_5^3$: $$ C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 $$ По формуле Бернулли: $$ P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^2 = 10 \cdot (0{,}4)^3 \cdot (0{,}6)^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304 $$ Ответ: 1) $\dfrac{295245}{1048576}$ (или $\approx 0{,}282$); 2) $0{,}16777216$; 3) $0{,}2304$.