ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 22 - 22.25

Пусть событие $A$ состоит в том, что первая пойманная рыба окажется карпом у Пети, а событие $B$ — в том, что первая пойманная рыба окажется карпом у Андрея. По условию задачи: $P(A) = \frac{3}{5}$; $P(B) = \frac{1}{2}$. Событие «первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков» является объединением событий $A$ и $B$, то есть $A \cup B$. По условию: $P(A \cup B) = \frac{7}{10}$. **1)** Событие «первая пойманная рыба окажется карпом и у Пети, и у Андрея» — это пересечение событий $A$ и $B$, то есть $A \cap B$. По теореме сложения вероятностей для произвольных событий: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ Выразим и найдем вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$: $$ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) $$ $$ P(A \cap B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{7}{10} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} - \frac{7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 $$ **2)** Событие «первая пойманная рыба окажется карпом только у Пети» означает, что произошло событие $A$, но не произошло событие $B$. Вероятность этого события равна: $$ P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) $$ $$ P(A \setminus B) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5} = 0{,}2 $$ **3)** Событие «первая пойманная рыба окажется карпом только у Андрея» означает, что произошло событие $B$, но не произошло событие $A$. Вероятность этого события равна: $$ P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B) $$ $$ P(B \setminus A) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10} = 0{,}1 $$ **4)** Событие «первая пойманная рыба окажется карпом только у одного из мальчиков» означает, что карп попался либо только Пете, либо только Андрею. Так как эти два события несовместны, их вероятности складываются: $$ P = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} = 0{,}3 $$ *(Или через формулу: $P = P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10} = 0{,}3$)*. Ответ: 1) $\frac{2}{5}$ (или $0{,}4$); 2) $\frac{1}{5}$ (или $0{,}2$); 3) $\frac{1}{10}$ (или $0{,}1$); 4) $\frac{3}{10}$ (или $0{,}3$).