ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень ответы на вопросы - §20

**1.** Фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a; b]$ функции $f$ ($f(x) \ge 0$), отрезком $[a; b]$ оси абсцисс и прямыми $x = a$ и $x = b$, называют **криволинейной трапецией**. **2.** Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется по формуле: $$ S = F(b) - F(a) $$ где $F$ — любая первообразная функции $f$ на отрезке $[a; b]$. Через определённый интеграл эта формула записывается как: $$ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ **3.** Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, а $F$ — её первообразная на этом отрезке. **Определённым интегралом** функции $f$ на промежутке $[a; b]$ называют разность $F(b) - F(a)$. Его обозначают $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ (читают: «интеграл от $a$ до $b$ эф от икс дэ икс»). При этом числа $a$ и $b$ называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. **4.** Формулой Ньютона — Лейбница называют равенство: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ Разность $F(b) - F(a)$ также принято записывать в виде двойной подстановки: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a) $$ **5.** Основные свойства определённого интеграла: 1) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов (если функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a; b]$): $$ \int_{a}^{b} (f(x) \pm g(x)) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \, dx $$ 2) Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла (для любого числа $k$): $$ \int_{a}^{b} k f(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ 3) Свойство аддитивности: для любых чисел $a$, $b$ и $c$ из области непрерывности функции $f$ справедливо равенство: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx $$ 4) Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то интеграл равен нулю: $$ \int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0 $$ 5) При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный: $$ \int_{b}^{a} f(x) \, dx = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx $$