ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.21

### 1) Найдем взаимное расположение графика функции $y = x^2 - 3x - 4$ и оси абсцисс $y = 0$. Найдем нули функции: $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$. На отрезке $[0; 3]$ квадратичная функция принимает неположительные значения, то есть $x^2 - 3x - 4 \le 0$, а график лежит под осью абсцисс. Следовательно, площадь фигуры вычисляется по формуле: $$ S = \int_{0}^{3} \left( 0 - (x^2 - 3x - 4) \right) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x + 4) dx $$ Применяем формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3 \right) - 0 = -9 + \frac{27}{2} + 12 = 3 + 13{,}5 = 16{,}5 $$ **Ответ:** $16{,}5$ --- ### 2) Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = x - 2$: $$ -x^2 = x - 2 $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. На отрезке $[-2; 1]$ парабола $y = -x^2$ расположена выше прямой $y = x - 2$ (например, при $x = 0$ имеем $0 > -2$). Вычислим площадь: $$ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - (x - 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx $$ $$ S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) $$ $$ S = \left( 2 - \frac{5}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 $$ **Ответ:** $4{,}5$ --- ### 3) Найдем абсциссы точек пересечения парабол $y = x^2 - 4$ и $y = 4 - x^2$: $$ x^2 - 4 = 4 - x^2 $$ $$ 2x^2 = 8 $$ $$ x^2 = 4 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2 $$ На отрезке $[-2; 2]$ парабола $y = 4 - x^2$ расположена выше параболы $y = x^2 - 4$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-2}^{2} ((4 - x^2) - (x^2 - 4)) dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) dx $$ Поскольку подынтегральная функция четная, воспользуемся свойством симметрии: $$ S = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) dx = 2 \left. \left( 8x - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = 2 \left( 16 - \frac{16}{3} \right) = 2 \cdot \frac{32}{3} = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $21\frac{1}{3}$ --- ### 4) Найдем абсциссы точек пересечения графиков $y = x^2 - 2x$ и $y = x$: $$ x^2 - 2x = x $$ $$ x^2 - 3x = 0 $$ $$ x(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 3 $$ На отрезке $[0; 3]$ прямая $y = x$ расположена выше параболы $y = x^2 - 2x$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{3} (x - (x^2 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx $$ $$ S = \left. \left( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3} = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - 0 = \frac{27}{2} - 9 = 13{,}5 - 9 = 4{,}5 $$ **Ответ:** $4{,}5$ --- ### 5) На отрезке $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$ функция $\sin x \ge 0$, следовательно, график $y = 3\sin x$ расположен выше графика $y = -2\sin x$. Пределы интегрирования заданы условием: от $x = 0$ до $x = \frac{2\pi}{3}$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (3\sin x - (-2\sin x)) dx = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 5\sin x \, dx $$ $$ S = \left. \left( -5\cos x \right) \right|_{0}^{\frac{2\pi}{3}} = -5\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - (-5\cos 0) $$ Так как $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, а $\cos 0 = 1$: $$ S = -5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5 \cdot 1 = \frac{5}{2} + 5 = 7{,}5 $$ **Ответ:** $7{,}5$ --- ### 6) Рассмотрим взаимное расположение линий на отрезке $[2; 4]$. Для всех $x \in [2; 4]$ дробь $\frac{4}{x} \le 2$, следовательно, $y = \frac{4}{x} - 2 \le 0$, что строго меньше $y = 2$. Прямая $y = 2$ расположена выше графика функции $y = \frac{4}{x} - 2$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{2}^{4} \left( 2 - \left( \frac{4}{x} - 2 \right) \right) dx = \int_{2}^{4} \left( 4 - \frac{4}{x} \right) dx $$ Находим первообразную: $$ S = \left. \left( 4x - 4\ln|x| \right) \right|_{2}^{4} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = (4 \cdot 4 - 4\ln 4) - (4 \cdot 2 - 4\ln 2) = 16 - 4\ln 4 - 8 + 4\ln 2 = 8 - 4(\ln 4 - \ln 2) $$ Используя свойство логарифма $\ln 4 - \ln 2 = \ln\left(\frac{4}{2}\right) = \ln 2$: $$ S = 8 - 4\ln 2 $$ **Ответ:** $8 - 4\ln 2$