ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.22

**1)** Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x$ и $y = x - 4$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций: $$ x^2 - 4x = x - 4 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. На отрезке $[1; 4]$ график прямой $y = x - 4$ расположен выше графика параболы $y = x^2 - 4x$ (например, при $x = 2$: $2 - 4 = -2$, а $2^2 - 4 \cdot 2 = -4$, $-2 > -4$). Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{1}^{4} ((x - 4) - (x^2 - 4x))\,dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4)\,dx $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) $$ $$ = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$. --- **2)** Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3 - x^2$ и $y = 2x$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$ 3 - x^2 = 2x $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. На отрезке $[-3; 1]$ парабола $y = 3 - x^2$ расположена выше прямой $y = 2x$ (например, при $x = 0$: $3 > 0$). Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-3}^{1} (3 - x^2 - 2x)\,dx = \left. \left( 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-3}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left( 3 \cdot 1 - 1^2 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 3 \cdot (-3) - (-3)^2 - \frac{(-3)^3}{3} \right) $$ $$ = \left( 2 - \frac{1}{3} \right) - (-9 - 9 + 9) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} $$ Ответ: $10\frac{2}{3}$. --- **3)** Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = -2\cos x$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right]$ функция $\cos x \ge 0$, поэтому $\cos x \ge -2\cos x$. Площадь фигуры равна: $$ S = \int_{-\pi/6}^{\pi/2} (\cos x - (-2\cos x))\,dx = \int_{-\pi/6}^{\pi/2} 3\cos x\,dx $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. 3\sin x \right|_{-\pi/6}^{\pi/2} = 3\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) - 3\sin\left( -\frac{\pi}{6} \right) $$ $$ = 3 \cdot 1 - 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 3 + \frac{3}{2} = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$. --- **4)** Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = x^2 - 2x$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$ 4 - x^2 = x^2 - 2x $$ $$ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. На отрезке $[-1; 2]$ график $y = 4 - x^2$ лежит выше графика $y = x^2 - 2x$ (например, при $x = 0$: $4 > 0$). Вычислим площадь: $$ S = \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (x^2 - 2x))\,dx = \int_{-1}^{2} (4 + 2x - 2x^2)\,dx $$ $$ S = \left. \left( 4x + x^2 - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{2} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left( 4 \cdot 2 + 2^2 - \frac{2 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot (-1) + (-1)^2 - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} \right) $$ $$ = \left( 8 + 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -4 + 1 + \frac{2}{3} \right) = \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right) $$ $$ = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 $$ Ответ: $9$.