ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.18

Найдем значение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона — Лейбница. Первообразная подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{x^2} + 1$: $$ F(x) = -\frac{1}{x} + x $$ Вычислим интеграл: $$ \int_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \left(-\frac{1}{x} + x\right) \Bigg|_{\frac{1}{2}}^{a} = \left(-\frac{1}{a} + a\right) - \left(-\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\right) $$ Преобразуем выражение: $$ \left(a - \frac{1}{a}\right) - \left(-2 + \frac{1}{2}\right) = a - \frac{1}{a} - (-1,5) = a - \frac{1}{a} + 1,5 $$ По условию задачи интеграл должен быть строго больше $1,5$: $$ a - \frac{1}{a} + 1,5 > 1,5 $$ $$ a - \frac{1}{a} > 0 $$ Приведем левую часть к общему знаменателю: $$ \frac{a^2 - 1}{a} > 0 $$ $$ \frac{(a - 1)(a + 1)}{a} > 0 $$ По условию $a > \frac{1}{2}$, следовательно, $a > 0$ и $a + 1 > 0$. Тогда знаменатель и множитель $(a + 1)$ положительны, и знак дроби определяется знаком выражения $(a - 1)$: $$ a - 1 > 0 $$ $$ a > 1 $$ Условие $a > 1$ согласуется с ограничением $a > \frac{1}{2}$. Ответ: $a \in (1; +\infty)$ (или $a > 1$).