ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.19

1) Вычислим интеграл: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^2 3x \, dx $$ Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$: $$ \operatorname{tg}^2 3x = \frac{1}{\cos^2 3x} - 1 $$ Найдём первообразную функции: $$ F(x) = \frac{1}{3} \operatorname{tg} 3x - x $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^2 3x \, dx = \left( \frac{1}{3} \operatorname{tg} 3x - x \right) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{12}} $$ $$ = \left( \frac{1}{3} \operatorname{tg} \left( 3 \cdot \frac{\pi}{12} \right) - \frac{\pi}{12} \right) - \left( \frac{1}{3} \operatorname{tg} 0 - 0 \right) $$ $$ = \left( \frac{1}{3} \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} \right) - 0 = \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{\pi}{12} = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{12} $$ Ответ: $\frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$. --- 2) Вычислим интеграл: $$ \int_{-\pi}^{0} 2 \sin^2 \frac{x}{4} \, dx $$ Применим формулу понижения степени $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$: $$ 2 \sin^2 \frac{x}{4} = 1 - \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{4} \right) = 1 - \cos \frac{x}{2} $$ Найдём первообразную функции: $$ F(x) = x - 2 \sin \frac{x}{2} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{-\pi}^{0} 2 \sin^2 \frac{x}{4} \, dx = \left( x - 2 \sin \frac{x}{2} \right) \Big|_{-\pi}^{0} $$ $$ = \left( 0 - 2 \sin 0 \right) - \left( -\pi - 2 \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) $$ $$ = 0 - \left( -\pi - 2 \cdot (-1) \right) = -(-\pi + 2) = \pi - 2 $$ Ответ: $\pi - 2$. --- 3) Вычислим интеграл: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 3x \cos x \, dx $$ Преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$: $$ \cos 3x \cos x = \frac{1}{2} (\cos(3x - x) + \cos(3x + x)) = \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 4x) $$ Найдём первообразную: $$ F(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) = \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{8} \sin 4x $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 3x \cos x \, dx = \left( \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{8} \sin 4x \right) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ $$ = \left( \frac{1}{4} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{8} \sin \left( 4 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \right) - \left( \frac{1}{4} \sin 0 + \frac{1}{8} \sin 0 \right) $$ $$ = \left( \frac{1}{4} \sin \pi + \frac{1}{8} \sin 2\pi \right) - 0 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$. --- 4) Вычислим интеграл: $$ \int_{1}^{2} \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} \, dx $$ Разделим почленно числитель подынтегрального выражения на знаменатель: $$ \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} = \frac{e^x}{x^3 e^x} + \frac{x^3}{x^3 e^x} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{e^x} = x^{-3} + e^{-x} $$ Найдём первообразную: $$ F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} - e^{-x} = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{e^x} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{2} \left( x^{-3} + e^{-x} \right) dx = \left( -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{e^x} \right) \Big|_{1}^{2} $$ $$ = \left( -\frac{1}{2 \cdot 2^2} - \frac{1}{e^2} \right) - \left( -\frac{1}{2 \cdot 1^2} - \frac{1}{e^1} \right) $$ $$ = \left( -\frac{1}{8} - \frac{1}{e^2} \right) - \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{e} \right) = -\frac{1}{8} - \frac{1}{e^2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{e} = \frac{3}{8} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} $$ Ответ: $\frac{3}{8} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}$.