ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.16

Найдем точки пересечения линий, ограничивающих фигуру. График функции $y = -x^3$ пересекает прямую $y = 0$ (ось абсцисс) в точке: $$-x^3 = 0 \implies x = 0$$ На отрезке $[-2; 0]$ выполняется неравенство $-x^3 \ge 0$, то есть график функции расположен выше оси абсцисс. Таким образом, фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 0$ и прямыми $x = -2$, $x = 0$. Вычислим площадь $S$ этой фигуры с помощью определенного интеграла: $$S = \int_{-2}^{0} (-x^3)\,dx = \left. -\frac{x^4}{4} \right|_{-2}^{0} = -\frac{0^4}{4} - \left( -\frac{(-2)^4}{4} \right) = 0 - (-4) = 4$$ Прямая $x = a$ разбивает фигуру на две равновеликие части, следовательно, $-2 < a < 0$, а площадь каждой из полученных частей равна: $$S_1 = \frac{S}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Рассмотрим правую часть фигуры, расположенную на отрезке $[a; 0]$. Ее площадь равна: $$S_1 = \int_{a}^{0} (-x^3)\,dx = \left. -\frac{x^4}{4} \right|_{a}^{0} = 0 - \left( -\frac{a^4}{4} \right) = \frac{a^4}{4}$$ Так как $S_1 = 2$, составим и решим уравнение: $$\frac{a^4}{4} = 2$$ $$a^4 = 8$$ $$a = \pm \sqrt[4]{8}$$ Поскольку $a \in (-2; 0)$, условию задачи удовлетворяет только отрицательное значение: $$a = -\sqrt[4]{8}$$ Ответ: $a = -\sqrt[4]{8}$.