ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.17

1) Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int\limits_0^a (4 - 2x) \, dx = (4x - x^2)\Big|_0^a = (4a - a^2) - (0 - 0) = 4a - a^2 $$ По условию интеграл меньше $3$: $$ 4a - a^2 < 3 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ a^2 - 4a + 3 > 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (a - 1)(a - 3) > 0 $$ Решением этого неравенства является: $$ a \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) $$ Учитывая условие $a > 0$, получаем: $$ a \in (0; 1) \cup (3; +\infty) $$ **Ответ:** $a \in (0; 1) \cup (3; +\infty)$. --- 2) Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int\limits_{\log_{0,2} 6}^a 0,2^x \, dx = \left. \frac{0,2^x}{\ln 0,2} \right|_{\log_{0,2} 6}^a = \frac{0,2^a - 0,2^{\log_{0,2} 6}}{\ln 0,2} = \frac{0,2^a - 6}{\ln 0,2} $$ Подставим полученное выражение в неравенство: $$ \frac{0,2^a - 6}{\ln 0,2} > \frac{19}{\ln 0,2} $$ Так как $0 < 0,2 < 1$, значение $\ln 0,2 < 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число $\ln 0,2$ знак неравенства меняется на противоположный: $$ 0,2^a - 6 < 19 $$ $$ 0,2^a < 25 $$ Представим $25$ в виде степени с основанием $0,2$: $$ 25 = 5^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 0,2^{-2} $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ 0,2^a < 0,2^{-2} $$ Показательная функция $y = 0,2^t$ убывает, так как ее основание $0 < 0,2 < 1$. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства снова меняется: $$ a > -2 $$ По условию требуется, чтобы $a > \log_{0,2} 6$. Сравним числа $-2$ и $\log_{0,2} 6$: $$ -2 = \log_{0,2}(0,2^{-2}) = \log_{0,2} 25 $$ Так как функция $y = \log_{0,2} t$ убывает на своей области определения и $6 < 25$, то: $$ \log_{0,2} 6 > \log_{0,2} 25 \implies \log_{0,2} 6 > -2 $$ Таким образом, решением системы: $$ \begin{cases} a > -2 \\ a > \log_{0,2} 6 \end{cases} $$ является промежуток $a > \log_{0,2} 6$. **Ответ:** $a \in (\log_{0,2} 6; +\infty)$.