ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.15

Фигуры называют равновеликими, если их площади равны. Так как прямая $x = a$ делит фигуру на две части, значение параметра $a$ удовлетворяет условию $3 < a < 12$. Функция $y = \frac{2}{x}$ непрерывна и принимает положительные значения на отрезке $[3; 12]$. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \frac{2}{x}$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямыми $x = 3$ и $x = a$, равна: $$ S_1 = \int_{3}^{a} \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| \Big|_3^a = 2(\ln a - \ln 3) = 2 \ln \frac{a}{3} $$ Площадь второй части фигуры, ограниченной прямыми $x = a$ и $x = 12$, равна: $$ S_2 = \int_{a}^{12} \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| \Big|_a^{12} = 2(\ln 12 - \ln a) = 2 \ln \frac{12}{a} $$ По условию фигуры равновеликие, следовательно, их площади равны ($S_1 = S_2$): $$ 2 \ln \frac{a}{3} = 2 \ln \frac{12}{a} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \ln \frac{a}{3} = \ln \frac{12}{a} $$ Потенцируя, получаем: $$ \frac{a}{3} = \frac{12}{a} $$ $$ a^2 = 36 $$ Так как $3 < a < 12$, выбираем положительный корень: $$ a = 6 $$ Ответ: $a = 6$.