ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.14

Найдем точки пересечения графика функции $y = 2x^3$ с осью абсцисс $y = 0$: $$ 2x^3 = 0 \implies x = 0 $$ Таким образом, фигура ограничена линиями $y = 2x^3$, $y = 0$ и вертикальной прямой $x = a$, а её границы по оси $Ox$ лежат между точками $x = 0$ и $x = a$. Рассмотрим возможные случаи расположения прямой $x = a$: 1. Если $a > 0$, то на отрезке $[0; a]$ функция $y = 2x^3 \ge 0$. Площадь фигуры находится с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{0}^{a} 2x^3 \, dx = \left. \frac{2x^4}{4} \right|_{0}^{a} = \left. \frac{x^4}{2} \right|_{0}^{a} = \frac{a^4}{2} $$ 2. Если $a < 0$, то на отрезке $[a; 0]$ функция $y = 2x^3 \le 0$, график расположен ниже оси $Ox$. Площадь фигуры равна: $$ S = \int_{a}^{0} (0 - 2x^3) \, dx = \left. \left(-\frac{x^4}{2}\right) \right|_{a}^{0} = 0 - \left(-\frac{a^4}{2}\right) = \frac{a^4}{2} $$ 3. При $a = 0$ фигура вырождается в точку, и её площадь равна $0 \ne 8$. Таким образом, при любом $a \ne 0$ площадь фигуры выражается формулой: $$ S = \frac{a^4}{2} $$ По условию задачи площадь равна 8. Составим и решим уравнение: $$ \frac{a^4}{2} = 8 $$ $$ a^4 = 16 $$ $$ a^2 = 4 \implies a = \pm 2 $$ Ответ: $a = -2$ или $a = 2$.