ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.11

1) Найдем пределы интегрирования. Прямая $x = 1$ задает одну из границ. Найдем абсциссу точки пересечения графика $y = x^3$ и прямой $y = 8$: $$ x^3 = 8 \implies x = 2 $$ На отрезке $[1; 2]$ график функции $y = 8$ расположен выше графика $y = x^3$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{1}^{2} (8 - x^3)\,dx = \left( 8x - \frac{x^4}{4} \right)\Bigg|_{1}^{2} $$ $$ S = \left( 8 \cdot 2 - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 8 \cdot 1 - \frac{1^4}{4} \right) = (16 - 4) - \left( 8 - \frac{1}{4} \right) = 12 - 7{,}75 = 4{,}25 $$ Ответ: $4{,}25$. 2) Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = 0{,}5x^2$ и прямой $y = -x$: $$ 0{,}5x^2 = -x \implies 0{,}5x^2 + x = 0 \implies x(0{,}5x + 1) = 0 $$ Отсюда $x_1 = -2$, $x_2 = 0$. На отрезке $[-2; 0]$ прямая $y = -x$ лежит выше параболы $y = 0{,}5x^2$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-2}^{0} (-x - 0{,}5x^2)\,dx = \left( -\frac{x^2}{2} - \frac{0{,}5x^3}{3} \right)\Bigg|_{-2}^{0} = \left( -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right)\Bigg|_{-2}^{0} $$ $$ S = 0 - \left( -\frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{6} \right) = -\left( -2 + \frac{8}{6} \right) = -\left( -2 + \frac{4}{3} \right) = \frac{2}{3} $$ Ответ: $\frac{2}{3}$. 3) Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = 4 - x^2$ и прямой $y = 3$: $$ 4 - x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[-1; 1]$ парабола $y = 4 - x^2$ лежит выше прямой $y = 3$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-1}^{1} ((4 - x^2) - 3)\,dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left( x - \frac{x^3}{3} \right)\Bigg|_{-1}^{1} $$ $$ S = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{-1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $1\frac{1}{3}$. 4) Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = 6 + x - x^2$ и прямой $y = 6 - 2x$: $$ 6 + x - x^2 = 6 - 2x \implies 3x - x^2 = 0 \implies x(3 - x) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. На отрезке $[0; 3]$ парабола лежит выше прямой. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x))\,dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx = \left( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right)\Bigg|_{0}^{3} $$ $$ S = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - 0 = 13{,}5 - 9 = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$. 5) Найдем абсциссы точек пересечения парабол $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = 4 - x^2$: $$ x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2 \implies 2x^2 - 4x = 0 \implies 2x(x - 2) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. На отрезке $[0; 2]$ парабола $y = 4 - x^2$ лежит выше параболы $y = x^2 - 4x + 4$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{0}^{2} ((4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4))\,dx = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2)\,dx = \left( 2x^2 - \frac{2x^3}{3} \right)\Bigg|_{0}^{2} $$ $$ S = \left( 2 \cdot 4 - \frac{2 \cdot 8}{3} \right) - 0 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Ответ: $2\frac{2}{3}$. 6) Прямая $x = 3$ задает одну из границ. Найдем абсциссу точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и прямой $y = 3$: $$ \frac{3}{x} = 3 \implies x = 1 $$ На отрезке $[1; 3]$ прямая $y = 3$ расположена выше гиперболы $y = \frac{3}{x}$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{1}^{3} \left( 3 - \frac{3}{x} \right)\,dx = (3x - 3\ln|x|)\Big|_{1}^{3} $$ $$ S = (3 \cdot 3 - 3\ln 3) - (3 \cdot 1 - 3\ln 1) = (9 - 3\ln 3) - 3 = 6 - 3\ln 3 $$ Ответ: $6 - 3\ln 3$. 7) Прямая $x = 0$ задает одну из границ. Найдем абсциссу точки пересечения графика $y = e^{-x}$ и прямой $y = e$: $$ e^{-x} = e \implies -x = 1 \implies x = -1 $$ На отрезке $[-1; 0]$ прямая $y = e$ расположена выше графика $y = e^{-x}$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-1}^{0} (e - e^{-x})\,dx = (ex + e^{-x})\Big|_{-1}^{0} $$ $$ S = (e \cdot 0 + e^0) - (e \cdot (-1) + e^{-(-1)}) = (0 + 1) - (-e + e) = 1 - 0 = 1 $$ Ответ: $1$. 8) Выразим $y$ из уравнения прямой: $y = 6 - x$. Найдем абсциссы точек пересечения гиперболы $y = \frac{5}{x}$ и прямой $y = 6 - x$: $$ \frac{5}{x} = 6 - x \implies x^2 - 6x + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. На отрезке $[1; 5]$ прямая $y = 6 - x$ расположена выше гиперболы $y = \frac{5}{x}$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{1}^{5} \left( 6 - x - \frac{5}{x} \right)\,dx = \left( 6x - \frac{x^2}{2} - 5\ln|x| \right)\Bigg|_{1}^{5} $$ $$ S = \left( 6 \cdot 5 - \frac{25}{2} - 5\ln 5 \right) - \left( 6 \cdot 1 - \frac{1}{2} - 5\ln 1 \right) $$ $$ S = (30 - 12{,}5 - 5\ln 5) - (6 - 0{,}5 - 0) = (17{,}5 - 5\ln 5) - 5{,}5 = 12 - 5\ln 5 $$ Ответ: $12 - 5\ln 5$.