ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.9

1) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$: $$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^5 - x^3 - 2x + C $$ Пусть $F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + C_1$, а $F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + C_2$. Так как график функции $F_1$ проходит через точку $A(1; 2)$, найдем значение $C_1$: $$ F_1(1) = 2 $$ $$ 1^5 - 1^3 - 2 \cdot 1 + C_1 = 2 $$ $$ 1 - 1 - 2 + C_1 = 2 $$ $$ -2 + C_1 = 2 \implies C_1 = 4 $$ Таким образом, $F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + 4$. Так как график функции $F_2$ проходит через точку $B(0; 5)$, найдем значение $C_2$: $$ F_2(0) = 5 $$ $$ 0^5 - 0^3 - 2 \cdot 0 + C_2 = 5 \implies C_2 = 5 $$ Таким образом, $F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + 5$. Сравним значения функций при любом $x$: $$ F_2(x) - F_1(x) = (x^5 - x^3 - 2x + 5) - (x^5 - x^3 - 2x + 4) = 5 - 4 = 1 > 0 $$ Так как $F_2(x) > F_1(x)$ для всех действительных значений $x$, график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$. Ответ: график функции $F_2$. --- 2) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = (2x - 1)^2$: $$ F(x) = \frac{(2x - 1)^3}{3 \cdot 2} + C = \frac{(2x - 1)^3}{6} + C $$ Пусть $F_1(x) = \frac{(2x - 1)^3}{6} + C_1$, а $F_2(x) = \frac{(2x - 1)^3}{6} + C_2$. Так как график функции $F_1$ проходит через точку $A(2; 6)$, найдем значение $C_1$: $$ F_1(2) = 6 $$ $$ \frac{(2 \cdot 2 - 1)^3}{6} + C_1 = 6 $$ $$ \frac{3^3}{6} + C_1 = 6 $$ $$ \frac{27}{6} + C_1 = 6 $$ $$ 4{,}5 + C_1 = 6 \implies C_1 = 1{,}5 $$ Таким образом, $F_1(x) = \frac{(2x - 1)^3}{6} + 1{,}5$. Так как график функции $F_2$ проходит через точку $B(-1; 1)$, найдем значение $C_2$: $$ F_2(-1) = 1 $$ $$ \frac{(2 \cdot (-1) - 1)^3}{6} + C_2 = 1 $$ $$ \frac{(-3)^3}{6} + C_2 = 1 $$ $$ -\frac{27}{6} + C_2 = 1 $$ $$ -4{,}5 + C_2 = 1 \implies C_2 = 5{,}5 $$ Таким образом, $F_2(x) = \frac{(2x - 1)^3}{6} + 5{,}5$. Сравним значения функций при любом $x$: $$ F_2(x) - F_1(x) = C_2 - C_1 = 5{,}5 - 1{,}5 = 4 > 0 $$ Так как $F_2(x) > F_1(x)$ для всех действительных значений $x$, график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$. Ответ: график функции $F_2$.