ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.6

1) $f(x) = 3 - 6x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $A(-1; 0)$. Найдем общий вид первообразных для функции $f$ на промежутке $I$: $$ F(x) = 3x - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 3x - 3x^2 + C $$ Так как график первообразной проходит через точку $A(-1; 0)$, подставим ее координаты: $$ F(-1) = 0 $$ $$ 3(-1) - 3(-1)^2 + C = 0 $$ $$ -3 - 3 + C = 0 \implies C = 6 $$ Ответ: $F(x) = -3x^2 + 3x + 6$. --- 2) $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1$, $I = (-\infty; +\infty)$, $B(1; 5)$. Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = x^4 - 2x^3 + x + C $$ Подставим координаты точки $B(1; 5)$, так как $F(1) = 5$: $$ 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 1 + C = 5 $$ $$ 1 - 2 + 1 + C = 5 \implies C = 5 $$ Ответ: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x + 5$. --- 3) $f(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $C(4; 10)$. Запишем функцию в виде степеней: $f(x) = 2x - x^{-\frac{1}{2}}$. Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^2 - 2\sqrt{x} + C $$ Подставим координаты точки $C(4; 10)$, учитывая, что $F(4) = 10$: $$ 4^2 - 2\sqrt{4} + C = 10 $$ $$ 16 - 2 \cdot 2 + C = 10 $$ $$ 12 + C = 10 \implies C = -2 $$ Ответ: $F(x) = x^2 - 2\sqrt{x} - 2$. --- 4) $f(x) = 2\sin 3x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $D\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$. Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -\frac{2}{3}\cos 3x + C $$ Подставим координаты точки $D\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, так как $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$: $$ -\frac{2}{3}\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + C = 0 $$ $$ -\frac{2}{3}\cos\pi + C = 0 $$ $$ -\frac{2}{3} \cdot (-1) + C = 0 \implies \frac{2}{3} + C = 0 \implies C = -\frac{2}{3} $$ Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{2}{3}$. --- 5) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} - 2}}$, $I = (4; +\infty)$, $E(6; 12)$. Запишем функцию в виде: $f(x) = 2\left(\frac{1}{2}x - 2\right)^{-\frac{1}{2}}$. Используя правило нахождения первообразной для сложного аргумента $k x + b$ с $k = \frac{1}{2}$: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\left(\frac{x}{2} - 2\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + C $$ Подставим координаты точки $E(6; 12)$, так как $F(6) = 12$: $$ 8\sqrt{\frac{6}{2} - 2} + C = 12 $$ $$ 8\sqrt{3 - 2} + C = 12 $$ $$ 8 \cdot 1 + C = 12 \implies C = 4 $$ Ответ: $F(x) = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + 4$. --- 6) $f(x) = e^{2x+1}$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M\left(-\frac{1}{2}; 4\right)$. Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + C $$ Подставим координаты точки $M\left(-\frac{1}{2}; 4\right)$, так как $F\left(-\frac{1}{2}\right) = 4$: $$ \frac{1}{2}e^{2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1} + C = 4 $$ $$ \frac{1}{2}e^0 + C = 4 $$ $$ \frac{1}{2} + C = 4 \implies C = \frac{7}{2} $$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + \frac{7}{2}$. --- 7) $f(x) = \frac{1}{4x - 3e^2}$, $I = \left(\frac{3e^2}{4}; +\infty\right)$, $K(e^2; 6)$. На промежутке $I$ выражение $4x - 3e^2 > 0$, поэтому знак модуля можно опустить. Общий вид первообразных: $$ F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + C $$ Подставим координаты точки $K(e^2; 6)$, так как $F(e^2) = 6$: $$ \frac{1}{4}\ln(4e^2 - 3e^2) + C = 6 $$ $$ \frac{1}{4}\ln(e^2) + C = 6 $$ $$ \frac{1}{4} \cdot 2 + C = 6 \implies \frac{1}{2} + C = 6 \implies C = \frac{11}{2} $$ Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + \frac{11}{2}$. --- 8) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}}$, $I = (0; 8\pi)$, $N(2\pi; -3)$. Поскольку первообразная функции $\frac{1}{\sin^2 kx}$ равна $-\frac{1}{k}\operatorname{ctg} kx$, при $k = \frac{1}{8}$ получаем: $$ F(x) = -\frac{1}{\frac{1}{8}}\operatorname{ctg}\frac{x}{8} + C = -8\operatorname{ctg}\frac{x}{8} + C $$ Подставим координаты точки $N(2\pi; -3)$, так как $F(2\pi) = -3$: $$ -8\operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{8}\right) + C = -3 $$ $$ -8\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = -3 $$ $$ -8 \cdot 1 + C = -3 \implies C = 5 $$ Ответ: $F(x) = -8\operatorname{ctg}\frac{x}{8} + 5$.