ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.10

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - 1}} = (5x - 1)^{-\frac{1}{2}}$ на промежутке $\left(\frac{1}{5}; +\infty\right)$, используя формулу $\int (kx + b)^n\,dx = \frac{(kx + b)^{n+1}}{k(n + 1)} + C$: $$ F(x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x - 1)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x - 1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C $$ Таким образом: $$ F(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C $$ 1. Найдем первообразную $F_1(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C_1$, график которой проходит через точку $M(1; 9)$: $$ F_1(1) = 9 $$ $$ \frac{2}{5}\sqrt{5 \cdot 1 - 1} + C_1 = 9 $$ $$ \frac{2}{5}\sqrt{4} + C_1 = 9 $$ $$ \frac{4}{5} + C_1 = 9 $$ $$ 0{,}8 + C_1 = 9 \implies C_1 = 8{,}2 $$ Следовательно, $F_1(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + 8{,}2$. 2. Найдем первообразную $F_2(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C_2$, график которой проходит через точку $N(10; 8)$: $$ F_2(10) = 8 $$ $$ \frac{2}{5}\sqrt{5 \cdot 10 - 1} + C_2 = 8 $$ $$ \frac{2}{5}\sqrt{49} + C_2 = 8 $$ $$ \frac{2}{5} \cdot 7 + C_2 = 8 $$ $$ \frac{14}{5} + C_2 = 8 $$ $$ 2{,}8 + C_2 = 8 \implies C_2 = 5{,}2 $$ Следовательно, $F_2(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + 5{,}2$. 3. Сравним функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$ на промежутке $\left(\frac{1}{5}; +\infty\right)$: $$ F_1(x) - F_2(x) = C_1 - C_2 = 8{,}2 - 5{,}2 = 3 > 0 $$ Так как $F_1(x) > F_2(x)$ при всех допустимых значениях $x$, график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$. Ответ: график функции $F_1$.