ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.22

Упростим выражение по действиям. Область допустимых значений выражения: $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$. **1. Преобразуем выражение в скобках:** $$ \frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a} $$ Разложим знаменатели второй и третьей дробей на множители: $$ b-\sqrt{ab} = \sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a}) = -\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $$ $$ \sqrt{ab}+a = \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{a}) = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $$ Подставим эти разложения и сократим дроби: $$ -\frac{b}{b-\sqrt{ab}} = -\frac{b}{-\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $$ $$ \frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $$ Сложим вторую и третью дроби, приведя их к общему знаменателю $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$: $$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) + \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{\sqrt{ab} + b + a - \sqrt{ab}}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $$ Теперь сложим полученный результат с первой дробью: $$ \frac{a+b}{a-b} + \frac{a+b}{a-b} = \frac{2(a+b)}{a-b} $$ --- **2. Выполним деление:** $$ \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{2(a+b)}{a-b} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов $a - b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$: $$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} $$ --- **3. Преобразуем вычитаемое:** Заметим, что подкоренное выражение представляет собой полный квадрат: $$ a+b-2\sqrt{ab} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 $$ Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $$ \frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2} = \frac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{2} = \frac{|\sqrt{a}-\sqrt{b}|}{2} $$ --- **4. Выполним вычитание:** $$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{|\sqrt{a}-\sqrt{b}|}{2} $$ Раскроем модуль в зависимости от соотношения чисел $a$ и $b$: 1) Если $a > b > 0$, то $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$, следовательно, $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = \sqrt{a}-\sqrt{b}$: $$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} = 0 $$ 2) Если $0 < a < b$, то $\sqrt{a} - \sqrt{b} < 0$, следовательно, $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = -(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{b}-\sqrt{a}$: $$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{2} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{2} = \frac{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{2} = \sqrt{a}-\sqrt{b} $$ Ответ: $0$, если $a > b$; $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, если $a < b$.