ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.23

Пусть дана функция $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 3} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 3}$. 1. Найдем область определения функции $D(f)$: Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль: $$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$$ $$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$$ Таким образом, $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат: для любого $x \in D(f)$ значение $-x \in D(f)$. 2. Найдем $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$: $$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{(-x) + 3} - \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{(-x) - 3}$$ Учитывая, что $(-x)^3 = -x^3$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем: $$f(-x) = \frac{-x^3 - 2x^2}{-(x - 3)} - \frac{-x^3 + 2x^2}{-(x + 3)}$$ Вынесем знак «минус» в числителях и сократим его со знаком «минус» в знаменателях каждой дроби: $$f(-x) = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x - 3)} - \frac{-(x^3 - 2x^2)}{-(x + 3)}$$ $$f(-x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x - 3} - \frac{x^3 - 2x^2}{x + 3}$$ Вынесем общий минус за скобки: $$f(-x) = -\left(\frac{x^3 - 2x^2}{x + 3} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 3}\right) = -f(x)$$ Так как для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Ответ: функция нечётная.