ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.17

**18.17.** Решим уравнение: $$ \frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1 - x)} $$ Разложим знаменатели дробей на множители: 1) $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ по формуле разности кубов; 2) $4x^2 + 4x + 4 = 4(x^2 + x + 1)$; 3) $2(1 - x) = -2(x - 1)$. Перепишем уравнение, вынеся знак «минус» из знаменателя правой части: $$ \frac{3x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} = -\frac{1}{2(x - 1)} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): - $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$; - трехчлен $x^2 + x + 1 \neq 0$ при всех действительных $x$, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен (значит, $x^2 + x + 1 > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$ \frac{3x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} + \frac{1}{2(x - 1)} = 0 $$ Общим знаменателем для всех дробей является $4(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{3x \cdot 4 - 5 \cdot (x - 1) + 1 \cdot 2(x^2 + x + 1)}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ 12x - 5(x - 1) + 2(x^2 + x + 1) = 0 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 12x - 5x + 5 + 2x^2 + 2x + 2 = 0 $$ $$ 2x^2 + 9x + 7 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-9 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ Проверим найденные корни по ОДЗ: - $x_1 = -3{,}5 \neq 1$; - $x_2 = -1 \neq 1$. Оба значения принадлежат ОДЗ. Ответ: $-3{,}5$; $-1$.