ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.14

Упростим выражение для функции $f(x)$, применив формулу косинуса двойного аргумента $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$: $$ f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -\left(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}\right) = -\cos x $$ Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = -\cos x$: $$ F(x) = \int (-\cos x)\,dx = -\sin x + C $$ Пусть $F_1(x) = -\sin x + C_1$ и $F_2(x) = -\sin x + C_2$ — две первообразные функции $f(x)$. Точки графиков этих первообразных с одинаковыми абсциссами имеют координаты $(x; F_1(x))$ и $(x; F_2(x))$. Расстояние между ними по вертикали равно: $$ |F_1(x) - F_2(x)| = |(-\sin x + C_1) - (-\sin x + C_2)| = |C_1 - C_2| $$ По условию задачи это расстояние должно быть равно 2: $$ |C_1 - C_2| = 2 $$ Выберем любые два числа, разность которых равна 2. Например, положим $C_1 = 2$ и $C_2 = 0$. Тогда искомые первообразные имеют вид: $$ F_1(x) = -\sin x + 2, \quad F_2(x) = -\sin x $$ Ответ: $F_1(x) = -\sin x + 2$ и $F_2(x) = -\sin x$ (возможны и другие примеры, где разность констант равна 2).