ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.18

1) $|x^2 - 2x - 3| < 3x - 3$ Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $$ Запишем соответствующую систему: $$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 < 3x - 3 \\ x^2 - 2x - 3 > -(3x - 3) \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 2x - 3 < 3x - 3 $$ $$ x^2 - 5x < 0 $$ $$ x(x - 5) < 0 $$ Решением является интервал: $x \in (0; 5)$. Решим второе неравенство системы: $$ x^2 - 2x - 3 > -3x + 3 $$ $$ x^2 + x - 6 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$: по теореме Виета $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Разложим на множители: $$ (x + 3)(x - 2) > 0 $$ Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Найдем пересечение решений первого и второго неравенств: $$ \begin{cases} x \in (0; 5) \\ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) \end{cases} $$ Пересечением множеств $(0; 5)$ и $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$ является интервал $(2; 5)$. **Ответ:** $(2; 5)$ --- 2) $|x^2 + 4x + 3| > x + 3$ Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{gathered} f(x) > g(x) \\ f(x) < -g(x) \end{gathered} \right. $$ Запишем соответствующую совокупность: $$ \left[ \begin{gathered} x^2 + 4x + 3 > x + 3 \\ x^2 + 4x + 3 < -(x + 3) \end{gathered} \right. $$ Решим первое неравенство совокупности: $$ x^2 + 4x + 3 > x + 3 $$ $$ x^2 + 3x > 0 $$ $$ x(x + 3) > 0 $$ Решением является: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$. Решим второе неравенство совокупности: $$ x^2 + 4x + 3 < -x - 3 $$ $$ x^2 + 5x + 6 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 6 = 0$: по теореме Виета $x_1 = -3$, $x_2 = -2$. Разложим на множители: $$ (x + 3)(x + 2) < 0 $$ Решением является интервал: $x \in (-3; -2)$. Объединим решения обоих неравенств совокупности: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (0; +\infty)$