ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.16

По определению функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$, если для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. 1. Докажем, что $F_1(x) = \sin^2 x$ — первообразная для $f(x) = \sin 2x$: Найдем производную функции $F_1(x)$, применяя правило дифференцирования сложной функции: $$ F_1'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x $$ По формуле синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$. Получаем: $$ F_1'(x) = \sin 2x = f(x) $$ Следовательно, функция $F_1(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$. 2. Докажем, что $F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x$ — первообразная для $f(x) = \sin 2x$: Найдем производную функции $F_2(x)$, также применяя правило дифференцирования сложной функции: $$ F_2'(x) = \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = \sin 2x = f(x) $$ Следовательно, функция $F_2(x)$ также является первообразной для функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$. 3. Найдем значение $C$, при котором верно равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$: Выразим $C$: $$ C = F_2(x) - F_1(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x - \sin^2 x $$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ C = -\frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 x) - \sin^2 x = -\frac{1}{2} + \sin^2 x - \sin^2 x = -\frac{1}{2} $$ Таким образом, равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$ верно при $C = -\frac{1}{2}$. Ответ: $C = -\frac{1}{2}$.