ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.15

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на множестве действительных чисел, если для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. 1. Докажем, что $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ — первообразная функции $f(x) = \cos 2x$. Найдём производную функции $F_1(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $$ F_1'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \frac{1}{2} \cdot \cos 2x \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos 2x \cdot 2 = \cos 2x $$ Так как $F_1'(x) = \cos 2x = f(x)$, то функция $F_1(x)$ является первообразной функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$. 2. Докажем, что $F_2(x) = -\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ — первообразная функции $f(x) = \cos 2x$. Найдём производную функции $F_2(x)$ как производную сложной функции: $$ F_2'(x) = \left(-\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' $$ $$ F_2'(x) = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(x - \frac{\pi}{4}\right)' = -2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 1 $$ Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, а затем свойство нечётности синуса и формулу приведения: $$ F_2'(x) = -\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos 2x $$ Так как $F_2'(x) = \cos 2x = f(x)$, то функция $F_2(x)$ также является первообразной функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$. 3. Найдём значение $C$, при котором верно равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$. Так как обе функции являются первообразными для одной и той же функции $f(x)$, по основной теореме о первообразных они отличаются на постоянную: $$ C = F_1(x) - F_2(x) $$ Преобразуем выражение для $F_2(x)$, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $$ F_2(x) = -\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)}{2} $$ Поскольку $\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin 2x$, получаем: $$ F_2(x) = -\frac{1 - \sin 2x}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x $$ Подставим полученное выражение в разность $F_1(x) - F_2(x)$: $$ C = \frac{1}{2}\sin 2x - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x\right) = \frac{1}{2} $$ Таким образом, равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$ верно при $C = \frac{1}{2}$. Ответ: $C = \frac{1}{2}$.