ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.12

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$ ### 1) $f(x) = e^{5x}, x_0 = 0$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(0) = e^{5 \cdot 0} = e^0 = 1$. 2. Найдем производную функции: $f'(x) = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} = 5 \cdot 1 = 5$. 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 5(x - 0) + 1 $$ $$ y = 5x + 1 $$ **Ответ:** $y = 5x + 1$. --- ### 2) $f(x) = 2e^x - \cos x, x_0 = 0$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(0) = 2e^0 - \cos 0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. 2. Найдем производную функции: $f'(x) = (2e^x - \cos x)' = 2e^x - (-\sin x) = 2e^x + \sin x$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(0) = 2e^0 + \sin 0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$. 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 2(x - 0) + 1 $$ $$ y = 2x + 1 $$ **Ответ:** $y = 2x + 1$. --- ### 3) $f(x) = 3^{2x-3}, x_0 = 2$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(2) = 3^{2 \cdot 2 - 3} = 3^{4 - 3} = 3^1 = 3$. 2. Найдем производную функции: $f'(x) = (3^{2x - 3})' = 3^{2x - 3} \cdot \ln 3 \cdot (2x - 3)' = 2 \cdot 3^{2x - 3} \ln 3$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(2) = 2 \cdot 3^{2 \cdot 2 - 3} \ln 3 = 2 \cdot 3 \ln 3 = 6\ln 3$. 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 6\ln 3 \cdot (x - 2) + 3 $$ $$ y = (6\ln 3)x - 12\ln 3 + 3 $$ **Ответ:** $y = (6\ln 3)x - 12\ln 3 + 3$. --- ### 4) $f(x) = 4x - \ln 4, x_0 = 1$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(1) = 4 \cdot 1 - \ln 4 = 4 - \ln 4$. 2. Найдем производную функции (так как $\ln 4$ — константа, ее производная равна нулю): $f'(x) = (4x - \ln 4)' = 4$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(1) = 4$. 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 4(x - 1) + 4 - \ln 4 $$ $$ y = 4x - 4 + 4 - \ln 4 $$ $$ y = 4x - \ln 4 $$ *(Касательная к графику линейной функции совпадает с самой прямой).* **Ответ:** $y = 4x - \ln 4$. --- ### 5) $f(x) = \ln(3x - 5), x_0 = 2$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(2) = \ln(3 \cdot 2 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln 1 = 0$. 2. Найдем производную функции как производную сложной функции: $f'(x) = (\ln(3x - 5))' = \frac{1}{3x - 5} \cdot (3x - 5)' = \frac{3}{3x - 5}$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(2) = \frac{3}{3 \cdot 2 - 5} = \frac{3}{1} = 3$. 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 3(x - 2) + 0 $$ $$ y = 3x - 6 $$ **Ответ:** $y = 3x - 6$. --- ### 6) $f(x) = \log_2(x + 3), x_0 = 1$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(1) = \log_2(1 + 3) = \log_2 4 = 2$. 2. Найдем производную функции: $f'(x) = (\log_2(x + 3))' = \frac{1}{(x + 3)\ln 2} \cdot (x + 3)' = \frac{1}{(x + 3)\ln 2}$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(1) = \frac{1}{(1 + 3)\ln 2} = \frac{1}{4\ln 2}$. 4. Составим уравнение касательной: $$ y = \frac{1}{4\ln 2}(x - 1) + 2 $$ $$ y = \frac{x}{4\ln 2} - \frac{1}{4\ln 2} + 2 $$ **Ответ:** $y = \frac{1}{4\ln 2}(x - 1) + 2$ (или $y = \frac{x}{4\ln 2} - \frac{1}{4\ln 2} + 2$).