ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.26

1) $\log_a x = 3 \log_a 2 + 2 \log_a 3$ Используем свойства логарифма: $k \log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. Преобразуем правую часть уравнения: $$ \log_a x = \log_a 2^3 + \log_a 3^2 $$ $$ \log_a x = \log_a 8 + \log_a 9 $$ $$ \log_a x = \log_a (8 \cdot 9) $$ $$ \log_a x = \log_a 72 $$ Отсюда получаем: $$ x = 72 $$ Ответ: $72$. 2) $\log_a x = \frac{1}{4} \log_a 16 + 3 \log_a 0,5$ Используем свойства степени под знаком логарифма и суммы логарифмов: $$ \log_a x = \log_a 16^{\frac{1}{4}} + \log_a 0,5^3 $$ Вычислим значения выражений в аргументах: $16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$; $0,5^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125$. Подставим полученные значения: $$ \log_a x = \log_a 2 + \log_a 0,125 $$ $$ \log_a x = \log_a (2 \cdot 0,125) $$ $$ \log_a x = \log_a 0,25 $$ Отсюда: $$ x = 0,25 \quad \left(\text{или } x = \frac{1}{4}\right) $$ Ответ: $0,25$. 3) $\lg x = \frac{2}{5} \lg 32 - \frac{1}{3} \lg 64 + 1$ Представим число $1$ как десятичный логарифм: $1 = \lg 10$. Преобразуем коэффициенты перед логарифмами в показатели степеней аргументов: $$ \lg x = \lg 32^{\frac{2}{5}} - \lg 64^{\frac{1}{3}} + \lg 10 $$ Вычислим степени: $32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$; $64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4$. Подставим найденные значения в уравнение: $$ \lg x = \lg 4 - \lg 4 + \lg 10 $$ Слагаемые $\lg 4$ и $-\lg 4$ взаимно уничтожаются: $$ \lg x = \lg 10 $$ Отсюда получаем: $$ x = 10 $$ Ответ: $10$.