ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.25

1) $\log_7 x = 2 \log_7 8 - 4 \log_7 2$ Используем свойства логарифма: $k \log_a b = \log_a (b^k)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$. $$ \log_7 x = \log_7 (8^2) - \log_7 (2^4) $$ $$ \log_7 x = \log_7 64 - \log_7 16 $$ $$ \log_7 x = \log_7 \frac{64}{16} $$ $$ \log_7 x = \log_7 4 $$ Так как основания логарифмов равны, получаем: $$ x = 4 $$ Ответ: $4$. --- 2) $\lg x = 2 + \lg 3 - \lg 5$ Представим число $2$ в виде десятичного логарифма: $2 = \lg 100$. $$ \lg x = \lg 100 + \lg 3 - \lg 5 $$ Применим свойства суммы и разности логарифмов: $$ \lg x = \lg \frac{100 \cdot 3}{5} $$ $$ \lg x = \lg \frac{300}{5} $$ $$ \lg x = \lg 60 $$ Отсюда: $$ x = 60 $$ Ответ: $60$. --- 3) $\log_3 x = \frac{2}{3} \log_3 216 + \frac{1}{2} \log_3 25$ Преобразуем коэффициенты перед логарифмами в показатели степеней подлогарифмических выражений: $$ 216^{\frac{2}{3}} = (6^3)^{\frac{2}{3}} = 6^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 6^2 = 36 $$ $$ 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 $$ Подставим полученные значения в уравнение: $$ \log_3 x = \log_3 36 + \log_3 5 $$ Используем свойство суммы логарифмов: $$ \log_3 x = \log_3 (36 \cdot 5) $$ $$ \log_3 x = \log_3 180 $$ Отсюда: $$ x = 180 $$ Ответ: $180$. --- 4) $\lg x = \frac{2}{3} \lg 32 - \frac{1}{3} \lg 128 + 1$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки: $$ \lg x = \frac{1}{3} (2 \lg 32 - \lg 128) + 1 $$ Преобразуем выражение в скобках: $$ 2 \lg 32 - \lg 128 = \lg (32^2) - \lg 128 = \lg 1024 - \lg 128 = \lg \frac{1024}{128} = \lg 8 $$ Подставим результат обратно: $$ \lg x = \frac{1}{3} \lg 8 + 1 $$ Так как $\frac{1}{3} \lg 8 = \lg (8^{\frac{1}{3}}) = \lg \sqrt[3]{8} = \lg 2$, а $1 = \lg 10$, получаем: $$ \lg x = \lg 2 + \lg 10 $$ $$ \lg x = \lg (2 \cdot 10) $$ $$ \lg x = \lg 20 $$ Отсюда: $$ x = 20 $$ Ответ: $20$. --- 5) $\log_2 x = 3 \log_2 5 - 2 \log_2 25 - \lg 10$ Учтем, что $\lg 10 = 1 = \log_2 2$, а также представим $25$ как $5^2$: $$ 2 \log_2 25 = 2 \log_2 (5^2) = 2 \cdot 2 \log_2 5 = 4 \log_2 5 $$ Подставим это в правую часть уравнения: $$ \log_2 x = 3 \log_2 5 - 4 \log_2 5 - 1 $$ $$ \log_2 x = -\log_2 5 - 1 $$ Заменим $1$ на $\log_2 2$: $$ \log_2 x = -(\log_2 5 + \log_2 2) $$ $$ \log_2 x = -\log_2 (5 \cdot 2) $$ $$ \log_2 x = -\log_2 10 $$ $$ \log_2 x = \log_2 (10^{-1}) $$ $$ \log_2 x = \log_2 0{,}1 $$ Отсюда: $$ x = 0{,}1 $$ Ответ: $0{,}1$.