ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.28

1) Найдем значение выражения: $$\frac{3\lg 4 + \lg 0,5}{\lg 9 - \lg 18}$$ Преобразуем числитель дроби, используя свойства логарифма: $n\lg a = \lg(a^n)$ и $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$: $$3\lg 4 + \lg 0,5 = \lg(4^3) + \lg 0,5 = \lg 64 + \lg 0,5 = \lg(64 \cdot 0,5) = \lg 32$$ Преобразуем знаменатель дроби, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg\left(\frac{a}{b}\right)$: $$\lg 9 - \lg 18 = \lg\left(\frac{9}{18}\right) = \lg\left(\frac{1}{2}\right) = \lg(2^{-1}) = -\lg 2$$ Представим число $32$ как степень двойки ($32 = 2^5$): $$\lg 32 = \lg(2^5) = 5\lg 2$$ Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$\frac{3\lg 4 + \lg 0,5}{\lg 9 - \lg 18} = \frac{5\lg 2}{-\lg 2} = -5$$ 2) Найдем значение выражения: $$\frac{\lg 625 - 8\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 256 - 2\lg 5}$$ Преобразуем числитель дроби: - представим $625$ как $5^4$, тогда $\lg 625 = \lg(5^4) = 4\lg 5$; - числитель принимает вид: $$4\lg 5 - 8\lg 2 = -4(2\lg 2 - \lg 5)$$ Преобразуем знаменатель дроби: - представим $256$ как $2^8$ или $16^2$, тогда $\frac{1}{2}\lg 256 = \lg\left(256^{\frac{1}{2}}\right) = \lg\sqrt{256} = \lg 16$; - так как $16 = 2^4$, получаем $\lg 16 = \lg(2^4) = 4\lg 2$; - знаменатель принимает вид: $$4\lg 2 - 2\lg 5 = 2(2\lg 2 - \lg 5)$$ Подставим полученные выражения в дробь и выполним сокращение: $$\frac{\lg 625 - 8\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 256 - 2\lg 5} = \frac{-4(2\lg 2 - \lg 5)}{2(2\lg 2 - \lg 5)} = \frac{-4}{2} = -2$$ Ответ: 1) $-5$; 2) $-2$.