ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.29

1) Воспользуемся формулой перехода к новому основанию в виде $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $b \neq 1$, $c > 0$. Так как $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \sin \frac{\pi}{5} < 1$, следовательно, основание логарифма допустимо. Получаем: $$ \log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin \frac{\pi}{5}} 49 = \log_7 49 = \log_7 (7^2) = 2 $$ 2) Вынесем показатель степени аргумента за знак первого логарифма по свойству $\log_a (x^k) = k \log_a x$ (так как $0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$, то $\cos \frac{\pi}{9} > 0$): $$ \log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} = 2 \log_3 \cos \frac{\pi}{9} $$ Преобразуем исходное выражение: $$ \log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos \frac{\pi}{9}} 9 = 2 \log_3 \cos \frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos \frac{\pi}{9}} 9 $$ Применим свойство $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$: $$ 2 \left(\log_3 \cos \frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos \frac{\pi}{9}} 9\right) = 2 \log_3 9 = 2 \log_3 (3^2) = 2 \cdot 2 = 4 $$ Ответ: 1) $2$; 2) $4$.