ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.22

1) Преобразуем показатель степени и применим свойства степеней и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 2^{4 \log_2 3 - 1} = \frac{2^{4 \log_2 3}}{2^1} = \frac{\left(2^{\log_2 3}\right)^4}{2} = \frac{3^4}{2} = \frac{81}{2} = 40,5 $$ Ответ: $40,5$. 2) Упростим логарифм в показателе, используя свойство $\log_{a^k} b^k = \log_a b$: $$ \log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \log_5 3 $$ Представим основание степени в виде $5^{-1}$ и вычислим: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \left(5^{-1}\right)^{\log_5 3 + 2} = 5^{-\log_5 3 - 2} = 5^{\log_5 3^{-1}} \cdot 5^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75} $$ Ответ: $\frac{1}{75}$. 3) Представим основание $8$ как $2^3$: $$ 8^{1 - \frac{1}{3} \log_2 12} = \frac{8^1}{8^{\frac{1}{3} \log_2 12}} = \frac{8}{\left(2^3\right)^{\frac{1}{3} \log_2 12}} = \frac{8}{2^{\log_2 12}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$ Ответ: $\frac{2}{3}$. 4) Упростим показатель степени (с учетом основания логарифма $\frac{1}{6}$): $$ \frac{1}{2} \log_6 9 = \log_6 9^{\frac{1}{2}} = \log_6 3 $$ $$ \log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = -\log_6 3 $$ Тогда показатель степени равен: $$ \frac{1}{2} \log_6 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_6 3 - (-\log_6 3) = \log_6 3 + \log_6 3 = \log_6 (3 \cdot 3) = \log_6 9 $$ Подставим полученный показатель: $$ 6^{\log_6 9} = 9 $$ Ответ: $9$. 5) Преобразуем слагаемые в показателе степени: $$ \log_{144} 4 = \log_{12^2} 2^2 = \log_{12} 2 $$ $$ \log_{144} 4 + \log_{12} 5 = \log_{12} 2 + \log_{12} 5 = \log_{12} (2 \cdot 5) = \log_{12} 10 $$ Вычислим значение выражения: $$ 12^{\log_{12} 10} = 10 $$ Ответ: $10$. 6) Упростим показатель степени: $$ \frac{1}{2} \lg 25 - 3 \lg 2 = \lg \sqrt{25} - \lg 2^3 = \lg 5 - \lg 8 = \lg \frac{5}{8} $$ Представим $1000$ как $10^3$: $$ 1000^{\frac{1}{2} \lg 25 - 3 \lg 2} = \left(10^3\right)^{\lg \frac{5}{8}} = \left(10^{\lg \frac{5}{8}}\right)^3 = \left(\frac{5}{8}\right)^3 = \frac{125}{512} $$ Ответ: $\frac{125}{512}$. 7) В выражении используется слагаемое с показателем $\frac{1}{\log_7 10}$. По формуле перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_7 10} = \lg 7$. Вычислим каждое слагаемое в скобках: $$ 100^{\frac{1}{\log_7 10}} = 100^{\lg 7} = \left(10^2\right)^{\lg 7} = 10^{2 \lg 7} = 10^{\lg 7^2} = 10^{\lg 49} = 49 $$ $$ 2^{\log_2 15 + 3} = 2^{\log_2 15} \cdot 2^3 = 15 \cdot 8 = 120 $$ Найдем значение всего выражения: $$ \log_{13} (49 + 120) = \log_{13} 169 = \log_{13} 13^2 = 2 $$ Ответ: $2$. 8) Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ 5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3} = \left(5^{\log_5 4}\right)^{\log_2 3} $$ По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5 4} = 4$. Получаем: $$ 4^{\log_2 3} = \left(2^2\right)^{\log_2 3} = 2^{2 \log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 3^2 = 9 $$ Ответ: $9$.