ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.21

1) Используем свойства степени и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 2^{3 \log_2 5 + 4} = 2^{3 \log_2 5} \cdot 2^4 = \left(2^{\log_2 5}\right)^3 \cdot 16 = 5^3 \cdot 16 = 125 \cdot 16 = 2000. $$ 2) Представим основание $8$ как степень двойки: $8 = 2^3$: $$ 8^{1 - \log_2 3} = \frac{8^1}{8^{\log_2 3}} = \frac{8}{\left(2^3\right)^{\log_2 3}} = \frac{8}{\left(2^{\log_2 3}\right)^3} = \frac{8}{3^3} = \frac{8}{27}. $$ 3) Преобразуем показатель и основание степени: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_9 2 - 3} = \left(3^{-1}\right)^{\log_{3^2} 2 - 3} = 3^{-\left(\frac{1}{2} \log_3 2 - 3\right)} = 3^{3 - \frac{1}{2} \log_3 2}. $$ Применим свойства степеней и логарифмов: $$ 3^{3 - \frac{1}{2} \log_3 2} = \frac{3^3}{3^{\frac{1}{2} \log_3 2}} = \frac{27}{\left(3^{\log_3 2}\right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{27}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{27}{\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{2}. $$ 4) Упростим слагаемые в показателе степени, учитывая, что $\log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} 4 = 2\log_7 4$: $$ 7^{2 \log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4} = 7^{2 \log_7 3 + 2 \log_7 4} = 7^{2(\log_7 3 + \log_7 4)} = 7^{2 \log_7 (3 \cdot 4)} = 7^{2 \log_7 12}. $$ По основному логарифмическому тождеству: $$ 7^{2 \log_7 12} = \left(7^{\log_7 12}\right)^2 = 12^2 = 144. $$ 5) Преобразуем логарифмы в показателе степени к основанию $3$: $\log_{81} 2 = \log_{3^4} 2 = \frac{1}{4} \log_3 2$. Тогда показатель равен: $$ 2 \log_3 2 + 4 \log_{81} 2 = 2 \log_3 2 + 4 \cdot \frac{1}{4} \log_3 2 = 2 \log_3 2 + \log_3 2 = 3 \log_3 2. $$ Вычислим значение выражения, учитывая, что $9 = 3^2$: $$ 9^{3 \log_3 2} = \left(3^2\right)^{3 \log_3 2} = 3^{6 \log_3 2} = \left(3^{\log_3 2}\right)^6 = 2^6 = 64. $$ 6) Преобразуем степень числа $100$, представив его как $10^2$: $$ 100^{\frac{1}{2} \lg 8 - 2 \lg 2} = \left(10^2\right)^{\frac{1}{2} \lg 8 - 2 \lg 2} = 10^{\lg 8 - 4 \lg 2}. $$ Упростим показатель по свойствам логарифма: $$ \lg 8 - 4 \lg 2 = \lg 8 - \lg(2^4) = \lg 8 - \lg 16 = \lg\left(\frac{8}{16}\right) = \lg\left(\frac{1}{2}\right). $$ Тогда: $$ 2 \cdot 10^{\lg\left(\frac{1}{2}\right)} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1. $$ 7) Вычислим каждое слагаемое под знаком внешнего логарифма: $$ 25^{\log_5 0,8} = \left(5^2\right)^{\log_5 0,8} = \left(5^{\log_5 0,8}\right)^2 = 0,8^2 = 0,64, $$ $$ 9^{\log_3 0,6} = \left(3^2\right)^{\log_3 0,6} = \left(3^{\log_3 0,6}\right)^2 = 0,6^2 = 0,36. $$ Сложим полученные значения: $$ \lg(0,64 + 0,36) = \lg 1 = 0. $$ 8) Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$: $$ \frac{1}{\log_5 3} = \log_3 5, \quad \frac{1}{\log_2 5} = \log_5 2, \quad \frac{1}{\log_9 6} = \log_6 9. $$ Подставим полученные логарифмы в исходное выражение: $$ 27^{\log_3 5} + 25^{\log_5 2} - 36^{\log_6 9}. $$ Вычислим каждое слагаемое: $$ 27^{\log_3 5} = \left(3^3\right)^{\log_3 5} = \left(3^{\log_3 5}\right)^3 = 5^3 = 125, $$ $$ 25^{\log_5 2} = \left(5^2\right)^{\log_5 2} = \left(5^{\log_5 2}\right)^2 = 2^2 = 4, $$ $$ 36^{\log_6 9} = \left(6^2\right)^{\log_6 9} = \left(6^{\log_6 9}\right)^2 = 9^2 = 81. $$ Найдем итоговую сумму: $$ 125 + 4 - 81 = 48. $$ Ответ: 1) $2000$; 2) $\frac{8}{27}$; 3) $\frac{27\sqrt{2}}{2}$; 4) $144$; 5) $64$; 6) $1$; 7) $0$; 8) $48$.