ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.14

1) Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 3^{\log_3 \frac{1}{27}} = \frac{1}{27} $$ 2) Внесем множитель перед логарифмом в показатель подлогарифмического выражения по свойству $k \log_a b = \log_a (b^k)$, а затем применим основное логарифмическое тождество: $$ 5^{\frac{1}{2} \log_5 49} = 5^{\log_5 (49^{\frac{1}{2}})} = 5^{\log_5 \sqrt{49}} = 5^{\log_5 7} = 7 $$ 3) Представим основание степени $4$ как $2^2$ и применим свойства степеней и логарифмов: $$ 4^{\log_2 9} = \left(2^2\right)^{\log_2 9} = 2^{2 \log_2 9} = 2^{\log_2 (9^2)} = 9^2 = 81 $$ 4) Представим основание степени $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием $3$, то есть $\frac{1}{9} = 3^{-2}$: $$ \left(\frac{1}{9}\right)^{-2 \log_3 12} = \left(3^{-2}\right)^{-2 \log_3 12} = 3^{(-2) \cdot (-2) \log_3 12} = 3^{4 \log_3 12} = \left(3^{\log_3 12}\right)^4 = 12^4 = 20736 $$ 5) Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ и основное логарифмическое тождество (напомним, что $\lg b = \log_{10} b$): $$ 10^{2 + \lg 8} = 10^2 \cdot 10^{\lg 8} = 100 \cdot 8 = 800 $$ 6) В основании логарифма содержится $\frac{1}{2}$ (так как основание логарифма не может быть равным $1$). Применяем свойство частного степеней с одинаковым основанием $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{6}{\frac{1}{8}} = 6 \cdot 8 = 48 $$ **Ответ:** 1) $\frac{1}{27}$; 2) $7$; 3) $81$; 4) $20736$; 5) $800$; 6) $48$.