ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.12

1) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x - 45 > 0$ Запишем неравенство в виде: $$ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 45 > 0 $$ Пусть $3^x = t$, причём $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - 4t - 45 > 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2 - 4t - 45 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = 9$, $t_2 = -5$. Разложим на множители: $$ (t - 9)(t + 5) > 0 $$ Решением неравенства относительно $t$ являются промежутки $t < -5$ и $t > 9$. Так как $t > 0$, условие $t < -5$ не имеет решений. Остаётся: $$ t > 9 $$ Вернёмся к замене: $$ 3^x > 9 $$ $$ 3^x > 3^2 $$ Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x > 2 $$ Ответ: $(2; +\infty)$. --- 2) $4^x + 2^{x+3} - 20 < 0$ Преобразуем слагаемые, используя свойства степени: $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$. $$ (2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 < 0 $$ Пусть $2^x = t$, причём $t > 0$. Получаем: $$ t^2 + 8t - 20 < 0 $$ Найдём корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$: $t_1 = 2$, $t_2 = -10$. Решением квадратного неравенства является интервал: $$ -10 < t < 2 $$ С учётом ограничения $t > 0$ получаем: $$ 0 < t < 2 $$ Вернёмся к замене: $$ 2^x < 2^1 $$ Поскольку основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x < 1 $$ Ответ: $(-\infty; 1)$. --- 3) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0$ Так как $49^x = (7^x)^2$, перепишем неравенство: $$ (7^x)^2 - 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0 $$ Пусть $7^x = t$, где $t > 0$. Получаем: $$ t^2 - 8t + 7 \leq 0 $$ Корни квадратного уравнения $t^2 - 8t + 7 = 0$: $t_1 = 1$, $t_2 = 7$. Решение неравенства: $$ 1 \leq t \leq 7 $$ Возвращаемся к замене: $$ 1 \leq 7^x \leq 7 $$ $$ 7^0 \leq 7^x \leq 7^1 $$ Так как основание $7 > 1$, получаем: $$ 0 \leq x \leq 1 $$ Ответ: $[0; 1]$. --- 4) $0,25^x - 12 \cdot 0,5^x + 32 \geq 0$ Заметим, что $0,25 = 0,5^2$, следовательно, $0,25^x = (0,5^x)^2$. $$ (0,5^x)^2 - 12 \cdot 0,5^x + 32 \geq 0 $$ Пусть $0,5^x = t$, где $t > 0$. Получаем: $$ t^2 - 12t + 32 \geq 0 $$ Корни уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$: $t_1 = 4$, $t_2 = 8$. Решение неравенства относительно $t$: $t \leq 4$ или $t \geq 8$. С учётом условия $t > 0$: $$ 0 < t \leq 4 \quad \text{или} \quad t \geq 8 $$ Вернёмся к переменной $x$: 1. $0,5^x \leq 4$ Так как $4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 0,5^{-2}$, получаем: $$ 0,5^x \leq 0,5^{-2} $$ Поскольку основание $0 < 0,5 < 1$, показательная функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \geq -2 $$ 2. $0,5^x \geq 8$ Так как $8 = 2^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 0,5^{-3}$, получаем: $$ 0,5^x \geq 0,5^{-3} $$ Знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \leq -3 $$ Объединяя оба случая, получаем: $x \leq -3$ или $x \geq -2$. Ответ: $(-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$. --- 5) $6^{2x-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \leq 0$ Преобразуем первое слагаемое: $6^{2x-1} = 6^{2x} \cdot 6^{-1} = \frac{1}{6} \cdot (6^x)^2$. $$ \frac{1}{6} \cdot (6^x)^2 - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \leq 0 $$ Умножим обе части неравенства на $6$: $$ (6^x)^2 - 2 \cdot 6^x - 24 \leq 0 $$ Пусть $6^x = t$, где $t > 0$. Получаем: $$ t^2 - 2t - 24 \leq 0 $$ Корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$: $t_1 = 6$, $t_2 = -4$. Решение неравенства: $$ -4 \leq t \leq 6 $$ С учётом $t > 0$ остаётся: $$ 0 < t \leq 6 $$ Вернёмся к замене: $$ 6^x \leq 6^1 $$ Так как основание $6 > 1$, знак сохраняется: $$ x \leq 1 $$ Ответ: $(-\infty; 1]$. --- 6) $25^x + 5^x - 30 \geq 0$ Представим $25^x$ как $(5^x)^2$: $$ (5^x)^2 + 5^x - 30 \geq 0 $$ Пусть $5^x = t$, где $t > 0$. Получаем: $$ t^2 + t - 30 \geq 0 $$ Корни уравнения $t^2 + t - 30 = 0$: $t_1 = 5$, $t_2 = -6$. Решение квадратного неравенства: $t \leq -6$ или $t \geq 5$. Так как $t > 0$, случай $t \leq -6$ невозможен. Получаем: $$ t \geq 5 $$ Вернёмся к замене: $$ 5^x \geq 5^1 $$ Так как основание $5 > 1$, получаем: $$ x \geq 1 $$ Ответ: $[1; +\infty)$.