ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.11

1) Решим неравенство: $$ 3^{x+2} - 4 \cdot 3^x < 45 $$ Используя свойство степени $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2$, вынесем общий множитель $3^x$ за скобки: $$ 3^x \cdot 3^2 - 4 \cdot 3^x < 45 $$ $$ 3^x \cdot (9 - 4) < 45 $$ $$ 5 \cdot 3^x < 45 $$ Разделим обе части неравенства на $5$: $$ 3^x < 9 $$ $$ 3^x < 3^2 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x < 2 $$ **Ответ:** $x < 2$ (или $x \in (-\infty; 2)$). --- 2) Решим неравенство: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} - \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3 $$ Преобразуем степень $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4$: $$ 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x - \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3 $$ Вынесем $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ за скобки: $$ (4 - 1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3 $$ $$ 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3 $$ Разделим обе части неравенства на $3$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1 $$ $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^0 $$ Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^t$ является убывающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \geq 0 $$ **Ответ:** $x \geq 0$ (или $x \in [0; +\infty)$). --- 3) Решим неравенство: $$ 5^x + 5^{x-1} - 5^{x-2} > 145 $$ Вынесем степень с наименьшим показателем $5^{x-2}$ за скобки: $$ 5^{x-2} \cdot (5^2 + 5^1 - 1) > 145 $$ $$ 5^{x-2} \cdot (25 + 5 - 1) > 145 $$ $$ 5^{x-2} \cdot 29 > 145 $$ Разделим обе части неравенства на $29$: $$ 5^{x-2} > 5 $$ $$ 5^{x-2} > 5^1 $$ Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y = 5^t$ возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ x - 2 > 1 $$ $$ x > 3 $$ **Ответ:** $x > 3$ (или $x \in (3; +\infty)$). --- 4) Решим неравенство: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < 1\frac{2}{3} $$ Запишем правую часть в виде неправильной дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. В левой части вынесем за скобки $\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}$: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{2}{3} + 1\right) < \frac{5}{3} $$ $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} \cdot \frac{5}{3} < \frac{5}{3} $$ Разделим обе части неравенства на положительное число $\frac{5}{3}$: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < 1 $$ $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < \left(\frac{2}{3}\right)^0 $$ Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^t$ является убывающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x - 1 > 0 $$ $$ x > 1 $$ **Ответ:** $x > 1$ (или $x \in (1; +\infty)$).