ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.19

Решим уравнение в том виде, в котором оно записано: $$\sqrt{4^x - 2^x} - 3 = \sqrt{4 \cdot 2^x} - 7$$ 1. Перенесём слагаемое $-3$ в правую часть уравнения и упростим подкоренное выражение $\sqrt{4 \cdot 2^x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2^x} = 2\sqrt{2^x}$: $$\sqrt{4^x - 2^x} = 2\sqrt{2^x} - 4$$ 2. Определим ограничения на переменную $x$: - Подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным: $$4^x - 2^x \ge 0 \iff 2^x(2^x - 1) \ge 0$$ Так как показательная функция $2^x > 0$ при любых действительных $x$, получаем: $$2^x - 1 \ge 0 \iff 2^x \ge 1 \iff x \ge 0$$ - Левая часть уравнения представляет собой арифметический квадратный корень, значит, $\sqrt{4^x - 2^x} \ge 0$. Следовательно, правая часть также обязана быть неотрицательной: $$2\sqrt{2^x} - 4 \ge 0 \iff \sqrt{2^x} \ge 2 \iff 2^x \ge 4 \iff x \ge 2$$ 3. Введём замену переменной: пусть $t = 2^x$. С учётом условия $x \ge 2$ получаем $t \ge 4$. Тогда $4^x = (2^x)^2 = t^2$. Уравнение принимает вид: $$\sqrt{t^2 - t} = 2\sqrt{t} - 4$$ 4. Так как обе части уравнения неотрицательны при $t \ge 4$, возведём их в квадрат: $$t^2 - t = (2\sqrt{t} - 4)^2$$ $$t^2 - t = 4t - 16\sqrt{t} + 16$$ Перенесём все члены в левую часть: $$t^2 - 5t - 16 + 16\sqrt{t} = 0$$ 5. Исследуем полученное уравнение при $t \ge 4$. Рассмотрим функцию: $$f(t) = t^2 - 5t - 16 + 16\sqrt{t}$$ Вычислим значение функции на левой границе рассматриваемого промежутка ($t = 4$): $$f(4) = 4^2 - 5 \cdot 4 - 16 + 16\sqrt{4} = 16 - 20 - 16 + 32 = 12 > 0$$ Найдём производную функции $f(t)$: $$f'(t) = 2t - 5 + \frac{8}{\sqrt{t}}$$ При $t \ge 4$: - $2t - 5 \ge 2 \cdot 4 - 5 = 3 > 0$; - $\frac{8}{\sqrt{t}} > 0$. Следовательно, $f'(t) > 0$ для всех $t \ge 4$, то есть функция $f(t)$ строго возрастает на луче $[4; +\infty)$. Поскольку $f(4) = 12 > 0$ и функция строго возрастает, то $f(t) > 0$ при всех $t \ge 4$. Значит, уравнение $f(t) = 0$ не имеет корней на области допустимых значений. **Ответ:** нет корней. --- *Примечание.* В печатном издании учебника (Мерзляк А. Г., 11 класс, № 11.19) числа $-3$ и $-7$ находятся под знаками квадратных корней: $$\sqrt{4^x - 2^x - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x - 7}$$ Решение для формулировки из учебника: 1. Замена: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда $4^x = t^2$: $$\sqrt{t^2 - t - 3} = \sqrt{4t - 7}$$ 2. Уравнение вида $\sqrt{f(t)} = \sqrt{g(t)}$ равносильно системе: $$\begin{cases} t^2 - t - 3 = 4t - 7 \\ 4t - 7 \ge 0 \end{cases}$$ Решим квадратное уравнение: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. 3. Проверим условие $4t - 7 \ge 0$ ($t \ge 1{,}75$): - $t_1 = 1$: $4 \cdot 1 - 7 = -3 < 0$ — посторонний корень; - $t_2 = 4$: $4 \cdot 4 - 7 = 9 \ge 0$ — удовлетворяет условию. 4. Обратная замена: $$2^x = 4$$ $$2^x = 2^2 \implies x = 2$$ **Ответ для формулировки учебника:** $2$.