ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.16

1) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x+3}{x}} - 32 = 0$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Преобразуем степени с основанием $2$: $$ 8^{\frac{2}{x}} = \left(2^3\right)^{\frac{2}{x}} = 2^{\frac{6}{x}} = \left(2^{\frac{3}{x}}\right)^2 $$ $$ 2^{\frac{2x+3}{x}} = 2^{2 + \frac{3}{x}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}} $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ \left(2^{\frac{3}{x}}\right)^2 - 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}} - 32 = 0 $$ Пусть $t = 2^{\frac{3}{x}}$, где $t > 0$. Тогда получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 4t - 32 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 8, \quad t_2 = -4 $$ Корень $t = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к замене для $t = 8$: $$ 2^{\frac{3}{x}} = 8 $$ $$ 2^{\frac{3}{x}} = 2^3 $$ Приравниваем показатели: $$ \frac{3}{x} = 3 $$ $$ x = 1 $$ Значение $x = 1$ входит в ОДЗ. Ответ: $1$. --- 2) $5^{\sqrt{x-2}} - 5^{1-\sqrt{x-2}} - 4 = 0$ Область допустимых значений: $$ x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 $$ Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, перепишем второе слагаемое: $$ 5^{\sqrt{x-2}} - \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} - 4 = 0 $$ Пусть $t = 5^{\sqrt{x-2}}$. Так как $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $t \ge 5^0$, то есть $t \ge 1$. Уравнение принимает вид: $$ t - \frac{5}{t} - 4 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $t > 0$: $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 5, \quad t_2 = -1 $$ Корень $t = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$. Вернемся к замене для $t = 5$: $$ 5^{\sqrt{x-2}} = 5^1 $$ $$ \sqrt{x-2} = 1 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ x - 2 = 1 $$ $$ x = 3 $$ Значение $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$). Ответ: $3$. --- 3) $2^{\cos 2x} - 3 \cdot 2^{\cos^2 x} + 4 = 0$ Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Преобразуем первое слагаемое: $$ 2^{\cos 2x} = 2^{2\cos^2 x - 1} = \frac{2^{2\cos^2 x}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(2^{\cos^2 x}\right)^2 $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ \frac{1}{2} \cdot \left(2^{\cos^2 x}\right)^2 - 3 \cdot 2^{\cos^2 x} + 4 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на 2: $$ \left(2^{\cos^2 x}\right)^2 - 6 \cdot 2^{\cos^2 x} + 8 = 0 $$ Пусть $t = 2^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $2^0 \le t \le 2^1$, то есть $1 \le t \le 2$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 6t + 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = 4 $$ Значение $t = 4$ не удовлетворяет ограничению $1 \le t \le 2$. Вернемся к замене для $t = 2$: $$ 2^{\cos^2 x} = 2^1 $$ $$ \cos^2 x = 1 $$ Отсюда: $$ \cos x = \pm 1 $$ Объединяя решения простейших уравнений $\cos x = 1$ и $\cos x = -1$, получаем: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.