ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.18

1) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0$ Запишем основания степеней через простые множители: $9 = 3^2$, $12 = 3 \cdot 4$, $16 = 4^2$. $$ 4 \cdot (3^2)^x - 7 \cdot (3 \cdot 4)^x + 3 \cdot (4^2)^x = 0 $$ $$ 4 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot (4^x)^2 = 0 $$ Данное уравнение является однородным показательным уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на $16^x = (4^x)^2$ (так как $16^x > 0$ при любых $x$, деление возможно без потери корней): $$ 4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} - 7 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} = 0 $$ $$ 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 = 0 $$ Пусть $\left(\frac{3}{4}\right)^x = t$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 4t^2 - 7t + 3 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену: 1) $\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^0 \implies x = 0 $$ 2) $\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1 \implies x = 1 $$ Ответ: $0$; $1$. --- 2) $5 \cdot 2^x + 2 \cdot 5^x = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}}$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$ 5 \cdot 2^x - 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot 5^x = 0 $$ Представим степени с показателем $x$ через степени с показателем $\frac{x}{2}$: $$ 2^x = \left(2^{\frac{x}{2}}\right)^2, \quad 5^x = \left(5^{\frac{x}{2}}\right)^2, \quad 10^{\frac{x}{2}} = (2 \cdot 5)^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}} $$ Уравнение принимает вид: $$ 5 \cdot \left(2^{\frac{x}{2}}\right)^2 - 7 \cdot 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot \left(5^{\frac{x}{2}}\right)^2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $5^x = \left(5^{\frac{x}{2}}\right)^2 > 0$: $$ 5 \cdot \left(\frac{2^{\frac{x}{2}}}{5^{\frac{x}{2}}}\right)^2 - 7 \cdot \frac{2^{\frac{x}{2}}}{5^{\frac{x}{2}}} + 2 = 0 $$ $$ 5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^2 - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} + 2 = 0 $$ Пусть $\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = t$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 5t^2 - 7t + 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$ Оба корня положительны ($t > 0$). Выполним обратную замену: 1) $\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$ $$ \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^0 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies x = 0 $$ 2) $\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{2}{5}$ $$ \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^1 \implies \frac{x}{2} = 1 \implies x = 2 $$ Ответ: $0$; $2$.