ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.17

**1)** $$ 3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0 $$ Заметим, что $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$. Уравнение является однородным показательным уравнением второй степени: $$ 3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (3^x)^2 = 0 $$ Так как $3^{2x} > 0$ при любых действительных значениях $x$, разделим обе части уравнения на $3^{2x}$: $$ 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $\left(\frac{2}{3}\right)^x = t$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$ $$ t_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ $$ t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену: 1) $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \implies x = 1$ 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \implies x = 0$ Ответ: $0$; $1$. --- **2)** $$ 2^{2x+1} - 7 \cdot 10^x + 25^{x+0,5} = 0 $$ Преобразуем степени, используя свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{2x+1} = 2^1 \cdot 2^{2x} = 2 \cdot (2^x)^2$ $25^{x+0,5} = 25^{0,5} \cdot 25^x = \sqrt{25} \cdot (5^2)^x = 5 \cdot (5^x)^2$ $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 2 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x \cdot 5^x + 5 \cdot (5^x)^2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $5^{2x} > 0$: $$ 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x + 5 = 0 $$ Пусть $\left(\frac{2}{5}\right)^x = t$, где $t > 0$. Получаем: $$ 2t^2 - 7t + 5 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$ $$ t_1 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к замене: 1) $\left(\frac{2}{5}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^0 \implies x = 0$ 2) $\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} \implies x = -1$ Ответ: $-1$; $0$. --- **3)** $$ 7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и представим основания степеней через простые множители: $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$ $28^x = (7 \cdot 4)^x = 7^x \cdot 4^x$ $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$ Получаем: $$ 7 \cdot (7^x)^2 + 3 \cdot 7^x \cdot 4^x - 4 \cdot (4^x)^2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $16^x = (4^x)^2 > 0$: $$ 7 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x - 4 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $\left(\frac{7}{4}\right)^x = t$, где $t > 0$. $$ 7t^2 + 3t - 4 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни: $D = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 = 11^2$ $$ t_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} $$ $$ t_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1 $$ Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Выполним обратную замену для $t_1$: $$ \left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7} \implies \left(\frac{7}{4}\right)^x = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1} \implies x = -1 $$ Ответ: $-1$. --- **4)** $$ 9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x $$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ 9^x - 2 \cdot 6^x + 4^x = 0 $$ Так как $9^x = (3^x)^2$, $4^x = (2^x)^2$, а $6^x = 3^x \cdot 2^x$, выражение в левой части представляет собой формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$ (3^x - 2^x)^2 = 0 $$ Отсюда: $$ 3^x - 2^x = 0 $$ $$ 3^x = 2^x $$ Разделим обе части уравнения на $2^x > 0$: $$ \left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 $$ $$ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^0 \implies x = 0 $$ Ответ: $0$.