ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.38

1) Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки: $$ 7^{x+1} + 7^x = 7^x \cdot 7^1 + 7^x = 7^x(7 + 1) = 8 \cdot 7^x $$ Ответ: $8 \cdot 7^x$. --- 2) Вынесем степень с наименьшим показателем $10^{x-2}$ за скобки: $$ 10^{x-2} - 10^x = 10^{x-2} \cdot (1 - 10^2) = 10^{x-2} \cdot (1 - 100) = -99 \cdot 10^{x-2} $$ Или, вынося $10^x$: $$ 10^x \cdot (10^{-2} - 1) = 10^x \cdot (0{,}01 - 1) = -0{,}99 \cdot 10^x $$ Ответ: $-99 \cdot 10^{x-2}$ (или $-0{,}99 \cdot 10^x$). --- 3) Вынесем общий множитель $2^{x-4}$ за скобки: $$ 2^{x+1} + 2^{x-4} = 2^{x-4} \cdot (2^{(x+1) - (x-4)} + 1) = 2^{x-4} \cdot (2^5 + 1) = 2^{x-4} \cdot (32 + 1) = 33 \cdot 2^{x-4} $$ Ответ: $33 \cdot 2^{x-4}$ (или $\frac{33}{16} \cdot 2^x$). --- 4) Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем $3^{x-1}$: $$ 3^{x+1} + 3^x + 3^{x-1} = 3^{x-1} \cdot (3^2 + 3^1 + 1) = 3^{x-1} \cdot (9 + 3 + 1) = 13 \cdot 3^{x-1} $$ Ответ: $13 \cdot 3^{x-1}$ (или $\frac{13}{3} \cdot 3^x$). --- 5) Вынесем за скобки общий множитель $2^{x+1}$: $$ 2^{x+3} + 3 \cdot 2^{x+2} - 5 \cdot 2^{x+1} = 2^{x+1} \cdot (2^2 + 3 \cdot 2^1 - 5) = 2^{x+1} \cdot (4 + 6 - 5) = 5 \cdot 2^{x+1} $$ Также выражение можно записать как $5 \cdot 2 \cdot 2^x = 10 \cdot 2^x$. Ответ: $5 \cdot 2^{x+1}$ (или $10 \cdot 2^x$). --- 6) Приведём все степени к основанию $6$: * $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} = (6^{-1})^{1-x} = 6^{x-1}$; * $36^{\frac{x}{2}} = (6^2)^{\frac{x}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 6^x$; * $6^{x+1} = 6 \cdot 6^x$. Подставим полученные выражения и вынесем за скобки $6^{x-1}$: $$ 6^{x-1} + 6^x - 6^{x+1} = 6^{x-1} \cdot (1 + 6^1 - 6^2) = 6^{x-1} \cdot (1 + 6 - 36) = -29 \cdot 6^{x-1} $$ Ответ: $-29 \cdot 6^{x-1}$ (или $-\frac{29}{6} \cdot 6^x$). --- 7) *(В записи условия содержится опечатка распознавания: второе слагаемое в оригинальном учебнике имеет вид $3^{2x+1}$)* Приведём степени к одинаковому основанию $3$: * $9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$. Преобразуем сумму: $$ 9^{x+1} + 3^{2x+1} = 3^{2x+2} + 3^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot (3^1 + 1) = 4 \cdot 3^{2x+1} $$ Также результат можно представить в виде $4 \cdot 3 \cdot 3^{2x} = 12 \cdot 9^x$. Ответ: $4 \cdot 3^{2x+1}$ (или $12 \cdot 9^x$). --- 8) Приведём слагаемые к степеням с основанием $5$: * $\sqrt{25^{x-2}} = (25^{x-2})^{\frac{1}{2}} = ((5^2)^{x-2})^{\frac{1}{2}} = 5^{x-2}$; * $(\sqrt{5})^{2x+4} = (5^{\frac{1}{2}})^{2x+4} = 5^{\frac{1}{2}(2x+4)} = 5^{x+2}$. Подставим и вынесем за скобки $5^{x-2}$: $$ 5^{x-2} - 2 \cdot 5^x + 5^{x+2} = 5^{x-2} \cdot (1 - 2 \cdot 5^2 + 5^4) = 5^{x-2} \cdot (1 - 50 + 625) = 576 \cdot 5^{x-2} $$ Или в виде степени $5^x$: $$ 576 \cdot 5^{x-2} = \frac{576}{25} \cdot 5^x = 23{,}04 \cdot 5^x $$ Ответ: $576 \cdot 5^{x-2}$ (или $\frac{576}{25} \cdot 5^x$).